如圖,已知等邊△ABC,以BC為直徑作半⊙O交AB于D,DE⊥AC于點E.
(1)求證:DE是半⊙O的切線;
(2)若DE=
3
,求△ABC與半⊙O重合部分的面積.
(1)證明:連接OD,CD,
∵△ABC為等邊三角形,
∴AC=BC,
∵BC為圓O的直徑,
∴∠BDC=90°,
∴CD⊥AB,
∴D為AB的中點,
又O為BC的中點,
∴OD為△ABC的中位線,
∴ODAC,
∵DE⊥AC,
∴DE⊥OD,
則DE與圓O相切;

(2)連接BF,OF,由(1)同理得到OFAB,
∵△ABC為等邊三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°,
∴∠FOC=∠DOB=60°,
∴∠DOF=60°,
∵DE⊥AC,BF⊥AC,
∴DEBF,
∵D為AB的中點,
∴E為AF中點,即DE為△ABF的中位線,
∴BF=2DE=2
3

在Rt△BCF中,∠CBF=30°,
設(shè)CF=x,則BC=2x,
根據(jù)勾股定理得:(2
3
2+x2=(2x)2,
解得:x=2,
∴等邊△BOD和△COF邊長都為2,半圓半徑為2,
則△ABC與半圓O重合部分的面積S=2S△BOD+S扇形DOF=2×
3
4
×4+
60π×22
360
=2
3
+
3

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

如圖,PA、PB分別切⊙O于點A、B,OP=2,PA=
3
,M是
AB
上一點,則∠AMB=( 。
A.100°B.120°C.135°D.150°

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知:如圖,直角梯形ABCD中,ADBC,∠ABC=90°,以AB為直徑的⊙O切DC邊于E點,AD=3cm,BC=5cm.求⊙O的面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分線BD交AC于點D,DE⊥DB交AB于點E,設(shè)⊙O是△BDE的外接圓.
(1)求證:AC是⊙O的切線;
(2)若DE=2,BD=4,求AE的長.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O與邊BC交于D點,與邊AC交于E點,過D作DF⊥AC于F.
(1)求證:DF是⊙O的切線;
(2)若DE=
5
,AB=5,求AE的長.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知Rt△ABC的斜邊AB=8cm,AC=4cm.
(1)以點C為圓心作圓,當(dāng)半徑為多長時,直線AB與⊙C相切?為什么?
(2)以點C為圓心,分別以2cm和4cm為半徑作兩個圓,這兩個圓與直線AB分別有怎樣的位置關(guān)系?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

如圖,直線AB、CD、BC分別與⊙O相切于E、F、G,且ABCD,若OB=6cm,0C=8cm,則BE+CG的長等于( 。
A.13B.12C.11D.10

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖所示,已知兩同心圓中,大圓的弦AB,AC切小圓于D,E,△ABC的周長為12cm,求△ADE的周長.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

如圖,某機械傳動裝置在靜止?fàn)顟B(tài)時,連桿PA與點A運動所形成的⊙O交于B點,現(xiàn)測得PB=4cm,AB=5cm,⊙O的半徑R=4.5cm,此時P點到圓心O的距離是______cm.

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同步練習(xí)冊答案