Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O與邊BC交于D點(diǎn)，與邊AC交于E點(diǎn)，過D作DF⊥AC于F．
（1）求證：DF是⊙O的切線；
（2）若DE=

5

，AB=5，求AE的長．

Answer 1

（1）證明：如圖，連接OD、AD．
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC．
∵AB=AC，
∴AD是△ABC的中線，即D是BC的中點(diǎn)，
∵O是AB的中點(diǎn)，
∴OD是△ABC的中位線，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切線；

（2）過D作DG⊥AB，垂足為G．
由（1）知，AD是等腰△ABC底邊BC的中線、高線，
∴AD平分∠BAC，
∴DE=DB=

5

．
在Rt△ABD中，AD=

AB2-DB2

=

52-( 5 )2

=2

5

，
在Rt△ABD中，S△ABD=

1

2

•AD•DB=

1

2

•AB•DG，即

1

2

×2

5

×

5

=

1

2

×5•DG，
∴DG=2．
∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB，
∴DF=DG=2，
在Rt△DEF中，EF=

DE2-DF2

=

( 5 )2-22

=1．
在Rt△ADF中，AF=

AD2-DF2

=

(2 5 )2-22

=4．
∴AE=AF-EF=3．