Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=﹣x+2交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B．

（1）求∠OAB的度數(shù)；

（2）點(diǎn)M是直線y=﹣x+2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且⊙M的半徑為2，圓心為M，判斷原點(diǎn)O與⊙M的位置關(guān)系，并說明理由；

（3）當(dāng)⊙M與y軸相切時(shí)，直接寫出切點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）點(diǎn)O在圓M外，理由見解析；（3）（0，）或（0，）

【解析】

（1）分別求出A與B的坐標(biāo)，求出OA與OB的長(zhǎng)，利用直角三角形性質(zhì)判斷即可；

（2）求出點(diǎn)O與圓心M的距離，與半徑比較大小即可；

（3）分M在第一象限與第二象限兩種情況，利用切線的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)確定出切點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解：（1）直線y=﹣x+2，

令x=0，得到y=2；令y=0，得到x=6，

∴OA=6，OB=2，

在Rt△AOB中，tan∠OAB==，

則∠OAB=30°；

（2）點(diǎn)O在圓M外，理由為：

當(dāng)OM⊥AB時(shí)，點(diǎn)M距離點(diǎn)O最近，此時(shí)OM=3，

∵3＞2，

∴點(diǎn)O在圓M外；

（3）當(dāng)點(diǎn)M在第一象限時(shí)，設(shè)此時(shí)圓M與y軸相切于點(diǎn)N，可得MN=2，

∵∠BMN=∠BAO=30°，

∴設(shè)BN=x，則有BM=2x，

根據(jù)勾股定理得：x2+22=（2x）2，

解得：x=，即ON=OB﹣BN=2﹣=，

此時(shí)N坐標(biāo)為（0，）；

當(dāng)點(diǎn)M在第二象限時(shí)，設(shè)此時(shí)圓M′與y軸相切于點(diǎn)N′，同理可得BN＝′，

此時(shí)ON′=OB+BN′=，N坐標(biāo)為（0，），

綜上，圓M與y軸相切時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）或（0，）．