Question

【題目】如圖1，在等腰直角三角形中，,點(diǎn)在邊上，連接，連接

（1）求證：

（2）點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，連接

①補(bǔ)全圖形并證明

②利用備用圖進(jìn)行畫圖、試驗(yàn)、探究，找出當(dāng)三點(diǎn)恰好共線時(shí)點(diǎn)的位置，請(qǐng)直接寫出此時(shí)的度數(shù)，并畫出相應(yīng)的圖形

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①見解析；②畫圖見解析，.

【解析】

（1）先根據(jù)同角的余角相等推出∠BAD=∠CAE，再根據(jù)SAS證得△BAD≌△CAE，進(jìn)而可得結(jié)論；

（2）①根據(jù)題意作圖即可補(bǔ)全圖形；利用軸對(duì)稱的性質(zhì)可得ME=AE，CM=CA，然后根據(jù)SSS可推出△CME≌△CAE，再利用全等三角形的性質(zhì)和（1）題的∠BAD=∠CAE即可證得結(jié)論；

②當(dāng)三點(diǎn)恰好共線時(shí)，設(shè)AC、DM交于點(diǎn)H，如圖3，由前面兩題的結(jié)論和等腰直角三角形的性質(zhì)可求得∠DCM=135°，然后在△AEH和△DCH中利用三角形的內(nèi)角和可得∠HAE=∠HDC，進(jìn)而可得，接著在△CDM中利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠CMD的度數(shù)，再利用①的結(jié)論即得答案.

解：（1）證明：∵AE⊥AD，∴∠DAE=90°，∴∠CAE+∠DAC=90°，

∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠DAC=90°，

∴∠BAD=∠CAE，

又∵BA=CA，DA=EA，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴；

（2）①補(bǔ)全圖形如圖2所示，∵點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，∴ME=AE，CM=CA，

∵CE=CE，∴△CME≌△CAE（SSS），

∴，

∵∠BAD=∠CAE，

∴；

②當(dāng)三點(diǎn)恰好共線時(shí)，設(shè)AC、DM交于點(diǎn)H，如圖3，由（1）題知：，

∵△CME≌△CAE，∴，∴∠DCM=135°，

在△AEH和△DCH中，∵∠AEH=∠ACD=45°，∠AHE=∠DHC，∴∠HAE=∠HDC，

∵，∴，

∴，

∵，

∴.