Question

【題目】如圖，△ABC中，AC＝BC＝a，AB＝b，以BC為直徑作⊙O交AB于點D，交AC于點E，過點D作⊙O的切線MN，交CB的延長線于點M，交AC于點N.

（1）求證：MN⊥AC；

（2）連接BE，寫出求BE長的思路.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）連接OD、CD，由BC是直徑可知∠BDC＝90°，易證OD是△ABC的中位線，從而可知OD∥AC，由切線的性質(zhì)可知：∠MNC＝∠MDO＝90°，從而得證.

（2）由于∠BEC＝90°，AB與AC的長度已知，利用勾股定理即可求出CD的長度，然后利用等面積即可求出BE的長度.

解：（1）連接 OD，CD，

∵BC 是⊙O 的直徑，

∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB，

∵AC＝BC，∴D是AB的中點，

又∵O 為 BC的中點，

∴OD∥AC，

∵MN是⊙O 的切線，

∴OD⊥MN，

∴∠MNC＝∠MDO＝90°，

∴MN⊥AC；

（2）由BC 是⊙O 的直徑，可得∠BEC＝90°；

由CD⊥AB，在 Rt△ACD 中，用勾股定理可求CD的長，

由ABCD＝2S△ABC＝ACBE，可得BE的長.