【題目】如圖,在中,點(diǎn)O是AC邊上的一個(gè)動點(diǎn),過點(diǎn)O作直線,設(shè)MN交的角平分線于點(diǎn)E,交的外角平分線于點(diǎn)F.
求證:;
當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到何處時(shí),四邊形AECF是矩形?請說明理由;
在的條件下,給再添加一個(gè)條件,使四邊形AECF是正方形,那么添加的條件是______.
【答案】(1)見解析;(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到AC的中點(diǎn)時(shí),四邊形AECF是矩形.理由見解析;(3)∠ACB為直角的直角三角形時(shí).
【解析】
(1)由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得出∠OCE=∠OEC,∠OCF=∠OFC,得出EO=CO,FO=CO,即可得出結(jié)論;
(2)先證明四邊形AECF是平行四邊形,再由對角線相等,即可得出結(jié)論;
(3)由正方形的性質(zhì)得出∠ACE=45°,得出∠ACB=2∠ACE=90°即可.
解:(1)
∵MN∥BC,
∴∠3=∠2,
又∵CF平分∠GCO,
∴∠1=∠2,
∴∠1=∠3,
∴FO=CO,
同理:EO=CO,
∴EO=FO.
(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到AC的中點(diǎn)時(shí),四邊形AECF是矩形.
∵當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到AC的中點(diǎn)時(shí),AO=CO,
又∵EO=FO,
∴四邊形AECF是平行四邊形,
由(1)可知,FO=CO,
∴AO=CO=EO=FO,
∴AO+CO=EO+FO,即AC=EF,
∴四邊形AECF是矩形.
(3)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到AC的中點(diǎn)時(shí),且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時(shí),四邊形AECF是正方形.
∵由(2)知,當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到AC的中點(diǎn)時(shí),四邊形AECF是矩形,
∵MN∥BC,
∴∠AOE=∠ACB
∵∠ACB=90°,
∴∠AOE=90°,
∴AC⊥EF,
∴四邊形AECF是正方形.
故答案為:∠ACB為直角的直角三角形時(shí).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)問題發(fā)現(xiàn)
如圖1,△ACB和△DCE均為等邊三角形,點(diǎn)A,D,E在同一直線上,連接BE.
填空:
①∠AEB的度數(shù)為 ;
②線段AD,BE之間的數(shù)量關(guān)系為 .
(2)拓展探究
如圖2,△ACB和△DCE均為等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,點(diǎn)A,D,E在同一直線上,CM為△DCE中DE邊上的高,連接BE,請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM,AE,BE之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
(3)解決問題
如圖3,在正方形ABCD中,CD=3,若點(diǎn)P滿足PD=1,且∠BPD=90°,請直接寫出點(diǎn)A到BP的距離.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某竹制品加工廠根據(jù)市場調(diào)研結(jié)果,對該廠生產(chǎn)的一種新型竹制品玩具未來兩年的銷售進(jìn)行預(yù)測,并建立如下模型:設(shè)第t個(gè)月,竹制品銷售量為P(單位:箱),P與t之間存在如圖所示函數(shù)關(guān)系,其圖象是線段AB(不含點(diǎn)A)和線段BC的組合.設(shè)第t個(gè)月銷售每箱的毛利潤為Q(百元),且Q與t滿足如下關(guān)系Q=2t+8(0≤t≤24).
(1)求P與t的函數(shù)關(guān)系式(6≤t≤24).
(2)該廠在第幾個(gè)月能夠獲得最大毛利潤?最大毛利潤是多少?
(3)經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),當(dāng)月毛利潤不低于40000且不高于43200元時(shí),該月產(chǎn)品原材料供給和市場售最和諧,此時(shí)稱這個(gè)月為“和諧月”,那么,在未來兩年中第幾個(gè)月為和諧月?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知∠AOB=90°,點(diǎn)A繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)A1落在射線OB上,點(diǎn)A繞點(diǎn)A1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)A2落在射線OB上,點(diǎn)A繞點(diǎn)A2順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)A3落在射線OB上,…,連接AA1,AA2,AA3…,依此作法,則∠AA2A3=___,∠AAnAn+1等于___度.(用含n的代數(shù)式表示,n為正整數(shù)).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,E是對角線BD上一點(diǎn),且滿足連接CE并延長交AD于點(diǎn)F,連接AE,過B點(diǎn)作于點(diǎn)G,延長BG交AD于點(diǎn)在下列結(jié)論中:
;;,其中正確的結(jié)論有
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的部分圖象如圖所示,圖象過點(diǎn)(﹣1,0),對稱軸為直線x=2,下列結(jié)論:①4a+b=0;②9a+c>3b;③ 8a+7b+2c>0;④若點(diǎn)A(﹣3,y1)、點(diǎn)B( ,y2)、點(diǎn)C( ,y3)在該函數(shù)圖象上,則y1<y3<y2;⑤若方程a(x+1)(x﹣5)=﹣3的兩根為x1和x2,且x1<x2,則x1<﹣1<5<x2.其中正確的結(jié)論有_______個(gè).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,已知O(0,0),A(﹣3,4),B(3,4),將△OAB與正方形ABCD組成的圖形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn),每次旋轉(zhuǎn)90°,測第70次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí),點(diǎn)D的坐標(biāo)為_____.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是△ABC的角平分線,DE∥BA交AC于點(diǎn)E,DF∥CA交AB于點(diǎn)F,已知CD=3.
(1)求AD的長;
(2)求四邊形AEDF的周長.(注意:本題中的計(jì)算過程和結(jié)果均保留根號)
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【題目】已知如圖,拋物線與軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)C(2,0),與 軸交于點(diǎn)D,將△DOC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后,點(diǎn)D恰好與點(diǎn)A重合,點(diǎn)C與點(diǎn)B重合.
(1)直接寫出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)求和的值;
(3)已知點(diǎn)E是該拋物線的頂點(diǎn),求證:AB⊥EB.
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