Question

【題目】已知：如圖，邊長(zhǎng)為2的正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，AB、DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作EG∥CB交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．

（1）求證： ；
（2）證明：EG與⊙O相切，并求AG、BF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：（1）易證五邊形ABCDE的外角∠FCB=∠EAG=∠FBC，
∵EG∥CB，
∴∠EAG=∠FBC．
∴△EAG∽△FBC．
∴ ，即BCAE=AGBF．
又∵BC=AE=AB，
∴ ①

（2）

連接EF，由（1）可知FB=FC，即△FBC為等腰三角形，易知BA=CD，

∴FA=FD，
∴EF⊥BC且EF平分BC，
∴EF過圓心O．
又∵EG∥CB，∴EF⊥EG，
∴EG與⊙O相切．
∴ ．
由（1）可知∠G=∠EAG，∴EG=EA=2，
設(shè)AG=x，則 ，解得

∴AG= ，代入①中可得：BF=

【解析】欲證 ，可證△EAG∽△FBC及正五邊形ABCDE的特點(diǎn)得出；求AG、BF的長(zhǎng)，需連接EF，易證明EF⊥BC，得出EF⊥EG，依據(jù)EG與⊙O相切，用切線的性質(zhì)得出．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了正多邊形和圓的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握?qǐng)A的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角；圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的和相等才能正確解答此題．