Question

【題目】如圖，一次函數(shù)y=﹣x+4的圖象與反比例函數(shù)y= （k為常數(shù)，且k≠0）的圖象交于A（1，a），B兩點．

（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式及點B的坐標(biāo)；
（2）在x軸上找一點P，使PA+PB的值最小，求滿足條件的點P的坐標(biāo)及△PAB的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：把點A（1，a）代入一次函數(shù)y=﹣x+4，

得：a=﹣1+4，解得：a=3，

∴點A的坐標(biāo)為（1，3）．

把點A（1，3）代入反比例函數(shù)y= ，

得：3=k，

∴反比例函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)= ，

聯(lián)立兩個函數(shù)關(guān)系式成方程組得： ，

解得： ，或 ，

∴點B的坐標(biāo)為（3，1）

（2）解：作點B作關(guān)于x軸的對稱點D，交x軸于點C，連接AD，交x軸于點P，此時PA+PB的值最小，連接PB，如圖所示．

∵點B、D關(guān)于x軸對稱，點B的坐標(biāo)為（3，1），

∴點D的坐標(biāo)為（3，﹣1）．

設(shè)直線AD的解析式為y=mx+n，

把A，D兩點代入得： ，

解得： ，

∴直線AD的解析式為y=﹣2x+5．

令y=﹣2x+5中y=0，則﹣2x+5=0，

解得：x= ，

∴點P的坐標(biāo)為（ ，0）．

S△PAB=S△ABD﹣S△PBD= BD（xB﹣xA）﹣ BD（xB﹣xP）= ×[1﹣（﹣1）]×（3﹣1）﹣ ×[1﹣（﹣1）]×（3﹣ ）=

【解析】（1）由點A在一次函數(shù)圖象上，結(jié)合一次函數(shù)解析式可求出點A的坐標(biāo)，再由點A的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)解析式，聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組，解方程組即可求出點B坐標(biāo)；（2）作點B作關(guān)于x軸的對稱點D，交x軸于點C，連接AD，交x軸于點P，連接PB．由點B、D的對稱性結(jié)合點B的坐標(biāo)找出點D的坐標(biāo)，設(shè)直線AD的解析式為y=mx+n，結(jié)合點A、D的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出直線AD的解析式，令直線AD的解析式中y=0求出點P的坐標(biāo)，再通過分割圖形結(jié)合三角形的面積公式即可得出結(jié)論．