Question

【題目】某商家計(jì)劃從廠家采購(gòu)空調(diào)和冰箱兩種產(chǎn)品共臺(tái)，空調(diào)和冰箱的采購(gòu)單價(jià)與銷售單價(jià)如表所示：

	采購(gòu)單價(jià)	銷售單價(jià)
空調(diào)
冰箱

若采購(gòu)空調(diào)臺(tái)，且所采購(gòu)的空調(diào)和冰箱全部售完，求商家的利潤(rùn)；

廠家有規(guī)定，采購(gòu)空調(diào)的數(shù)量不少于臺(tái)，且空調(diào)采購(gòu)單價(jià)不低于元，問(wèn)商家采購(gòu)空調(diào)多少臺(tái)時(shí)總利潤(rùn)最大？并求最大利潤(rùn)．

Answer 1

【答案】（1）9840元；（2）商家采購(gòu)空調(diào)臺(tái)時(shí)，獲得的總利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為元．

【解析】

（1）當(dāng)采購(gòu)空調(diào)12臺(tái)時(shí)，冰箱采購(gòu)8臺(tái)，根據(jù)“總利潤(rùn)=單臺(tái)冰箱利潤(rùn)×冰箱采購(gòu)數(shù)量+單臺(tái)空調(diào)利潤(rùn)×空調(diào)采購(gòu)數(shù)量”列式計(jì)算，即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)空調(diào)的采購(gòu)數(shù)量為x臺(tái)，則冰箱的采購(gòu)數(shù)量為（20-x）臺(tái)，設(shè)總利潤(rùn)為W（元），根據(jù)“采購(gòu)空調(diào)的數(shù)量不少于10臺(tái)，且空調(diào)采購(gòu)單價(jià)不低于1200元”即可得出關(guān)于x的一元一次方程組，解方程組即可得出x的取值范圍，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問(wèn)題．

（1）采購(gòu)空調(diào)12臺(tái)，則采購(gòu)冰箱20-12=8臺(tái)．
所售空調(diào)利潤(rùn)=[1760-（-20×12+1500）]×12=6000（元），
所售冰箱利潤(rùn)=[1700-（-10×8+1300）]×8=3840（元），
∴總利潤(rùn)=6000+3840=9840（元）．
（2）設(shè)空調(diào)的采購(gòu)數(shù)量為x臺(tái)，則冰箱的采購(gòu)數(shù)量為（20-x）臺(tái)，設(shè)總利潤(rùn)為W（元），
根據(jù)題意得： ，

解得：10≤x≤15．
W=1760x-（-20x+1500）x+1700（20-x）-[-10（20-x）+1300]（20-x）=30x2-540x+12000=30（x-9）2+9570，
∵30＞0，
∴當(dāng)x＞9時(shí)，W隨著x的增大而增大，
∵10≤x≤15，
∴當(dāng)x=15時(shí)，W取最大值，最大值=30×（15-9）2+9570=10650（元）．
答：商家采購(gòu)空調(diào)15臺(tái)時(shí)，獲得的總利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為10650元．