【題目】(2016山東濰坊第24題)如圖,在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,過點D作DE⊥AB于點E,DF⊥BC于點F.
(1)如圖1,連接AC分別交DE、DF于點M、N,求證:MN=AC;
(2)如圖2,將△EDF以點D為旋轉中心旋轉,其兩邊DE′、DF′分別與直線AB、BC相交于點G、P,連接GP,當△DGP的面積等于3時,求旋轉角的大小并指明旋轉方向.
【答案】(1)詳見解析;(2)將△EDF以點D為旋轉中心,順時針或逆時針旋轉60°時,△DGP的面積等于3.
【解析】
試題分析:(1)連接BD,易證△ABD為等邊三角形,由等腰三角形的三線合一得到AE=EB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可;(2)分∠EDF順時針旋轉和逆時針旋轉兩種情況,根據(jù)旋轉變換的性質(zhì)解答即可.
試題解析:(1)證明:如圖1,連接BD,交AC于O,
在菱形ABCD中,∠BAD=60°,AD=AB,
∴△ABD為等邊三角形,
∵DE⊥AB,
∴AE=EB,
∵AB∥DC,
∴==,
同理, =,
∴MN=AC;
(2)解:∵AB∥DC,∠BAD=60°,
∴∠ADC=120°,又∠ADE=∠CDF=30°,
∴∠EDF=60°,
當∠EDF順時針旋轉時,
由旋轉的性質(zhì)可知,∠EDG=∠FDP,∠GDP=∠EDF=60°,
DE=DF=,∠DEG=∠DFP=90°,
在△DEG和△DFP中,
,
∴△DEG≌△DFP,
∴DG=DP,
∴△DGP為等邊三角形,
∴△DGP的面積=DG2=3,
解得,DG=2,
則cos∠EDG==,
∴∠EDG=60°,
∴當順時針旋轉60°時,△DGP的面積等于3,
同理可得,當逆時針旋轉60°時,△DGP的面積也等于3,
綜上所述,將△EDF以點D為旋轉中心,順時針或逆時針旋轉60°時,△DGP的面積等于3.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,點E是∠AOB的平分線上一點,EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分別為C、D,連接C、D.
(1)求證:OC=OD;
(2)請確定射線OE與線段CD 的位置關系,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】一個三角形的第一條邊長為(x+2)cm,第二條邊長比第一條邊長小5cm,第三條邊長是第二條邊長的2倍.
(1)用含x的代數(shù)式表示這個三角形的周長;
(2)計算當x為6cm時這個三角形的周長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】據(jù)有關資料顯示,長江三峽工程電站的總裝機容量是18200000千瓦,請你用科學記數(shù)法表示電站的總裝機容量,應記為千瓦.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,C是⊙O上一點,∠ACD=∠B,AD⊥CD.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)若AD=1,OA=2,求AC的值.
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