【題目】如圖,Rt△AOB在平面直角坐標系中,已知:B(0,),點A在x軸的正半軸上,OA=3,∠BAD=30°,將△AOB沿AB翻折,點O到點C的位置,連接CB并延長交x軸于點D.
(1)求點D的坐標;
(2)動點P從點D出發(fā),以每秒2個單位的速度沿x軸的正方向運動,當△PAB為直角三角形時,求t的值;
(3)在(2)的條件下,當△PAB為以∠PBA為直角的直角三角形時,在y軸上是否存在一點Q使△PBQ為等腰三角形?如果存在,請直接寫出Q點的坐標;如果不存在,請說明理由.
【答案】(1)D(﹣3,0);(2);(3)Q的坐標為Q1(0,+2),Q2(0,),Q3(0.﹣2),Q4(0,﹣).
【解析】
(1)根據已知得出OA、OB的值以及∠DAC的度數,進而求得∠ADC,即可求得D的坐標;
(2)根據直角三角形的判定,分兩種情況討論求得;
(3)求得PB的長,分四種情形討論即可解決問題.
解:(1)∵B(0,),
∴OB=.
∵OA=OB,
∴OA=3,
∴AC=3.
∵∠BAD=30°,
∴∠OAC=60°.
∵∠ACD=90°,
∴∠ODB=30°,
∴=,
∴OD=3,
∴D(﹣3,0);
(2)∵OA=3,OD=3,∴A(3,0),AD=6,
∴AB=2,當∠PBA=90°時.
∵PD=2t,
∴OP=3﹣2t.
∵△OBA∽△OPB,
∴OB2=OPOA,
∴3﹣2t==1,解得t=1,當∠APB=90°時,則P與O重合,
∴t=;
(3)存在.
①當BP為腰的等腰三角形.
∵OP=1,∴BP==2,
∴Q1(0,+2),Q3(0.﹣2);
②當PQ2=Q2B時,設PQ2=Q2B=a,
在Rt△OPQ2中,12+(﹣x)2=x2,解得x=,
∴Q2(0,);
③當PB=PQ4時,Q4(0,﹣)
綜上所述:滿足條件的點Q的坐標為Q1(0,+2),Q2(0,),Q3(0.﹣2),Q4(0,﹣).
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【題目】 如圖,在直角坐標系中,矩形OABC的頂點O在坐標原點,邊OA在x軸上,
OC在y軸上,如果矩形OA′B′C′與矩形OABC關于點O位似,且矩形OA′B′C′的面積等于矩形OABC面積的,那么點B′的坐標是【 】
A.(-2,3) B.(2,-3) C.(3,-2)或(-2,3) D.(-2,3)或(2,-3)
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【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,過點A作⊙O的切線交BC的延長線于點D.
(1)求證:∠CAD=∠B.
(2)若AC是∠BAD的平分線,sinB=,BC=2.求⊙O的半徑.
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【題目】如圖在平面直角坐標系xOy中,O為坐標原點,二次函數y=x2+bx+c的圖象經過點A(3,0)、點B(0,3),頂點為M.
(1)求該二次函數的解析式;
(2)求∠OBM的正切值.
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【題目】某校對七年級300名學生進行了教學質量監(jiān)測(滿分100分),現從中隨機抽取部分學生的成績進行整理,并繪制成如圖不完整的統計表和統計圖:
注:60分以下為“不及格”,60~69分為“及格”,70~79分為“良好”,80分及以上為“優(yōu)秀”
請根據以上信息回答下列問題:
(1)補全統計表和統計圖;
(2)若用扇形統計圖表示統計結果,則“良好”所對應扇形的圓心角為多少度?
(3)請估計該校七年級本次監(jiān)測成績?yōu)?/span>70分及以上的學生共有多少人?
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【題目】王老師將個黑球和若干個白球放入一個不透明的口袋并攪勻,讓若干學生進行摸球實驗,每次摸出一個球(有放回),下表是活動進行中的一組統計數據.
摸球的次數 | ||||||
摸到黑球的次數 | ||||||
摸到黑球的頻率 |
補全上表中的有關數據,根據上表數據估計從袋中摸出一個球是黑球的概率是________(精確到0.01);
估算袋中白球的個數;
在的條件下,若小強同學有放回地連續(xù)兩次摸球,用畫樹狀圖或列表的方法計算他兩次都摸出白球的概率.
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【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,AB為直徑,D是⊙O上一點,且弧CB=弧CD,CE⊥DA交DA的延長線于點E.
(1)求證:∠CAB=∠CAE;
(2)求證:CE是⊙O的切線;
(3)若AE=1,BD=4,求⊙O的半徑長.
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【題目】如圖,、是的切線,切點分別為、,是的直徑,與相交于點,連接.下列結論:①;②;③若,則;④.其中正確的個數為( )
A. 4個B. 3個C. 2個D. 1個
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