Question

【題目】（14分）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，G是AD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且DG=AD，動(dòng)點(diǎn)M從A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿著A→C→G的路線向G點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)（M不與A、G重合），設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒。連接BM并延長(zhǎng)交AG于N。

（1）是否存在點(diǎn)M，使△ABM為等腰三角形？若存在，分析點(diǎn)M的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）當(dāng)點(diǎn)N在AD邊上時(shí)，若BN⊥HN，NH交∠CDG的平分線于H，求證：BN=NH；

（3）過(guò)點(diǎn)M分別用AB、AD的垂線，垂足分別為E、F，矩形AEMF與△ACG重疊部分的面積為S，求S的最大值。

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；（3）當(dāng)t=秒時(shí)，S的最大值為.

【解析】

試題分析：（1）△ABM為等腰三角形有三種情況，①AM=BM，②AB=BM,③AM=AB，根據(jù)這三種情況確定M的位置.（2）根據(jù)同角的的余角相等可證∠ABN=∠DNH，再證∠BKN=∠NDH=135，BK=DN，利用ASA可判定△BNK≌△NHD，進(jìn)而根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得BN=NH.（3）矩形AEMF與△ACG重疊部分分兩種情況，①當(dāng)點(diǎn)M在AC上時(shí)，即0<t≤時(shí)，當(dāng)點(diǎn)M在CG上時(shí)，即<t<時(shí),分別求出在這兩種情況時(shí)矩形AEMF與△ACG重疊部分的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得這兩種情況各自的最大值，再進(jìn)行比較，找出最大的即為本題答案.

試題解析：

（1）當(dāng)點(diǎn)M為AC中點(diǎn)時(shí)，有AM=BM,則△ABM為等腰三角形；

當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C重合時(shí)，AB=BM,則△ABM為等腰三角形；

當(dāng)點(diǎn)M在AC上且AM=2時(shí)，AM=AB,則△ABM為等腰三角形.

證明：在AB上取點(diǎn)K,使AK=AN，連接KN.

∵AB=AD,BK=AB-AK,ND=AD-AN,∴BK=DN.

又DH平分直角∠CDG，∴∠CDH=45，∴∠NDH=90+45=135.

∴∠BKN=180-∠AKN=135,∴∠BKN=∠NDH.

∵在Rt△ABN中，∠ABN+∠ANB=90，又BN⊥NH,即∠BNH=90

∴∠ANB+∠DNH=180-∠BNH=180-90=90

∴∠ABN=∠DNH.∴△BNK≌△NHD（ASA）,∴BN=NH.

①當(dāng)點(diǎn)M在AC上時(shí)，即0<t≤時(shí)，易知：△AMF為等腰直角三角形.

∵AM=t,∴AF=FM=.

∴S=.

當(dāng)點(diǎn)M在CG上時(shí)，即<t<時(shí),CM=t-,MG=-t.

∵AD=DG,∠ADC=∠CDG,CD=CD,

∴△ACD≌△GCD（SAS）,

∴∠ACD=∠GCD=45

∴∠ACM=∠ACD+∠GCD=90

∴∠G=90-∠GCD=90-45=45

∴△MFG為等腰直角三角形.

∴

②在0<t≤范圍內(nèi)，當(dāng)t=時(shí)，S的最大值為.

在<t<范圍內(nèi)，，當(dāng)時(shí)，S的最大值為.

∵

∴當(dāng)t=秒時(shí)，S的最大值為.