Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中（如圖），已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣3，0）的拋物線y＝ax2+2ax﹣3與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于該拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，D為該拋物線的頂點(diǎn)．

（1）直接寫出該拋物線的對(duì)稱軸以及點(diǎn)B的坐標(biāo)、點(diǎn)C的坐標(biāo)、點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）聯(lián)結(jié)AD、DC、CB，求四邊形ABCD的面積；

（3）聯(lián)結(jié)AC．如果點(diǎn)E在該拋物線上，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線，垂足為H，線段EH交線段AC于點(diǎn)F．當(dāng)EF＝2FH時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）對(duì)稱軸為x＝﹣1，點(diǎn)B、C、D的坐標(biāo)依次為（1，0），（0，﹣3），（﹣1，﹣4）；（2）9；（3）（﹣2，﹣3）．

【解析】

（1）由題意可知該拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝＝﹣1，而點(diǎn)A（-3，0），求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而求解；

（2）根據(jù)題意將四邊形ABCD的面積分解為△DAM、梯形DMOC、△BOC的面積和，即可求解；

（3）根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)E（x，x2+2x-3），則點(diǎn)F（x，-x-1），求出EF、FH長(zhǎng)度的表達(dá)式，即可求解．

解：（1）∵該拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝＝﹣1，而點(diǎn)A（﹣3，0），

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），

∵c＝﹣3，故點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3），

∵函數(shù)的對(duì)稱軸為x＝﹣1，故點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，﹣4）；

（2）過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB，垂足為M，

則OM＝1，DM＝4，AM＝2，OB＝1，

∴，

∴，

∴，

∴ ；

（3）設(shè)直線AC的表達(dá)式為：y＝kx+b，則，解得：，

故直線AC的表達(dá)式為：y＝﹣x﹣3，

將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：9a﹣6a﹣3＝0，解得：a＝1，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2+2x﹣3，

設(shè)點(diǎn)E（x，x2+2x﹣3），則點(diǎn)F（x，﹣x﹣1），

則EF＝（﹣x﹣1）﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x，FH＝x+3，

∵EF＝2FH，

∴﹣x2﹣3x＝2（x+3），解得：x＝﹣2或﹣3（舍去﹣3），

故m＝﹣2.

故點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（﹣2，﹣3）．