Question

【題目】如圖，邊長為1的正方形ABCD中，P為對角線AC上的任意一點，分別連接PB、PD，PE⊥PB，交CD與E．

（1）求證：PE=PD；
（2）當E為CD的中點時，求AP的長；
（3）設AP=x（0＜x＜ ），四邊形BPEC的面積為y，求證：y= （ ﹣x）2 ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：作PG⊥BC于G，PH⊥CD于H，

∵四邊形ABCD是正方形，正方形是軸對稱圖形，

∴PB=PD，PG=PH，∠BCD=90°，

∴四邊形PGCH是矩形，

∴PG⊥PH，又PE⊥PB，

∴∠BPG=∠EPH，

在△BPG和△EPH中，

，

∴△BPG≌△EPH，

∴PB=PE，又PB=PD，

∴PE=PD

（2）解：∵四邊形ABCD是軸對稱圖形，

∴∠BPC=∠DPC，∠GPC=∠HPC=45°，

∴∠BPG=∠DPH，又∠BPG=∠EPH，

∴∠DPH=∠EPH，又PH⊥CD，

∴DH=EH= DE= CD= ，

∴PH=HC= ，

∴PC= ，

∵正方形ABCD的邊長為1，

∴AC= ，

∴AP=AC﹣PC=

（3）證明：∵AC= ，AP=x，

∴PC= ﹣x，

∵△BPG≌△EPH，

∴四邊形BPEC的面積y=正方形PGCH的面積= （ ﹣x）2．

【解析】（1）證線段相等可證全等，因此需作垂線構(gòu)造全等三角形；（2）求AP可轉(zhuǎn)化為求PC， 可利用正方形的性質(zhì)和勾股定理即可；（3）通過證出全等轉(zhuǎn)化不規(guī)則四邊形為規(guī)則的正方形.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識，掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．