Question

【題目】閱讀下列兩段材料，回答問題：

材料一：點，的中點坐標為．例如，點，的中點坐標為，即

材料二：如圖1，正比例函數和的圖象相互垂直，分別在和上取點、使得分別過點作軸的垂線，垂足分別為點．顯然，，設，，則，．．于是，所以的值為一個常數，一般地，一次函數，可分別由正比例函數平移得到.

所以，我們經過探索得到的結論是：任意兩個一次函數，的圖象相互垂直，則的值為一個常數.

（1）在材料二中，=______（寫出這個常數具體的值）

（2）如圖2，在矩形中，點是中點，用兩段材料的結論，求點的坐標和的垂直平分線的解析式;

（3）若點與點關于對稱，用兩段材料的結論，求點的坐標.

Answer 1

【答案】(1)-1；(2) ， ；（3）

【解析】

（1）將k1，k2的值相乘，即可得出結論；
（2）由點O，A的坐標可求出其中點D的坐標，由點A的坐標可得出直線OA的解析式，由（1）的結論可設直線l的解析式為y=-2x+m，代入點D的坐標即可求出直線l的解析式；
（3）由矩形的性質可得出點C的坐標，由（1）的結論可設直線CC′的解析式為y=-2x+n，代入點C的坐標可求出直線CC′的解析式，聯立直線CC′和OA的解析式成方程組，通過解方程組可求出點E的坐標，再由點E為線段CC′的中點可求出點C′的坐標．

（1）∵=-,=,

∴k1k2=-=-1.

故答案為-1.

（2）∵點O的坐標為（0，0），點A的坐標為（4，2），點D是OA中點，
∴點D的坐標為（2，1）．
∵點A的坐標為（4，2），
∴直線OA的解析式為y=x．
∵直線l⊥直線OA，
∴設直線l的解析式為y=-2x+m．
∵直線l過點D（2，1），
∴1=-4+m，解得：m=5，
∴OA的垂直平分線的解析式為y=-2x+5．

（3）∵點A的坐標為（4，2），四邊形OBAC為矩形，
∴點C的坐標為（0，2）．
設直線CC′的解析式為y=-2x+n，
∵直線CC′過點C（0，2），
∴n=2，即直線CC′的解析式為y=-2x+2．
聯立直線CC′和OA的解析式成方程組，得：，

解得：

∴點E的坐標為（ ）

∵點E為線段CC′的中點，
∴點C′的坐標為（ ），即（-）.

故答案為(1)-1；(2) ， ；（3）