Question

【題目】已知：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，且對稱軸為x=﹣2，點(diǎn)P（0，t）是y軸上的一個動點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（2）如圖1，當(dāng)0≤t≤4時，設(shè)△PAD的面積為S，求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；S是否有最小值？如果有，求出S的最小值和此時t的值．
（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到使∠PDA=90°時，Rt△ADP與Rt△AOC是否相似？若相似，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不相似，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：對稱軸為x=﹣ =﹣2，

解得b=﹣1，

所以，拋物線的解析式為y=﹣ x2﹣x+3，

∵y=﹣ x2﹣x+3=﹣ （x+2）2+4，

∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣2，4）

（2）

解：令y=0，則﹣ x2﹣x+3=0，

整理得，x2+4x﹣12=0，

解得x1=﹣6，x2=2，

∴點(diǎn)A（﹣6，0），B（2，0），

如圖1，過點(diǎn)D作DE⊥y軸于E，

∵0≤t≤4，

∴△PAD的面積為S=S梯形AOED﹣S△AOP﹣S△PDE，

= ×（2+6）×4﹣ ×6t﹣ ×2×（4﹣t），

=﹣2t+12，

∵k=﹣2＜0，

∴S隨t的增大而減小，

∴t=4時，S有最小值，最小值為﹣2×4+12=4

（3）

解：如圖2，過點(diǎn)D作DF⊥x軸于F，

∵A（﹣6，0），D（﹣2，4），

∴AF=﹣2﹣（﹣6）=4，

∴AF=DF，

∴△ADF是等腰直角三角形，

∴∠ADF=45°，

由二次函數(shù)對稱性，∠BDF=∠ADF=45°，

∴∠PDA=90°時點(diǎn)P為BD與y軸的交點(diǎn)，

∵OF=OB=2，

∴PO為△BDF的中位線，

∴OP= DF=2，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2），

由勾股定理得，DP= =2 ，

AD= AF=4 ，

∴ = =2，

令x=0，則y=3，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），OC=3，

∴ = =2，

∴ = ，

又∵∠PDA=90°，∠COA=90°，

∴Rt△ADP∽Rt△AOC

【解析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸列式求出b的值，即可得到拋物線解析式，然后整理成頂點(diǎn)式形式，再寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；（2）令y=0解關(guān)于x的一元二次方程求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，過點(diǎn)D作DE⊥y軸于E，然后根據(jù)△PAD的面積為S=S梯形AOCE﹣S△AOP﹣S△PDE ， 列式整理，然后利用一次函數(shù)的增減性確定出最小值以及t值；（3）過點(diǎn)D作DF⊥x軸于F，根據(jù)點(diǎn)A、D的坐標(biāo)判斷出△ADF是等腰直角三角形，然后求出∠ADF=45°，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可得∠BDF=∠ADF=45°，從而求出∠PDA=90°時點(diǎn)P為BD與y軸的交點(diǎn)，然后求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用勾股定理列式求出AD、PD，再根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例夾角相等兩三角形相似判斷即可．