Question

【題目】已知：關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣（k﹣1）x﹣1=0

（1）求證：方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）當(dāng)k為何值時(shí)，此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)；

（3）我們定義：若一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)正實(shí)數(shù)根x1、x2（x1＞x2），滿足2＜＜3，則稱這個(gè)一元二次方程有兩個(gè)“夢(mèng)想根”．如果關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣（k﹣1）x﹣1=0有兩個(gè)“夢(mèng)想根”，求k的范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）1（3）﹣＜k＜-或﹣3＜k＜﹣2

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)方程的判別式，可得答案；

（2）根據(jù)互為相反數(shù)的和為零，可得關(guān)于k的方程，根據(jù)解方程，可得答案；

（3）根據(jù)方程的夢(mèng)想根，可得不等式組，根據(jù)解不等式組，可得答案．

試題解析：（1）關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣（k﹣1）x﹣1=0，

a=k，b=﹣（k﹣1），c=﹣1，

△=b2﹣4ac=[﹣（k﹣1）]2﹣4k（﹣1）=k2+2k+1=（k+1）2≥0，

關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣（k﹣1）x﹣1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣（k﹣1）x﹣1=0，

x1=，x2=，

方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)，得

x1+x2=+=0，

即=0，

解得k=1，

當(dāng)k=1時(shí)，此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)；

（3）當(dāng)k＞0時(shí)，x1=1，x2=﹣＜0，不符合題意；

當(dāng)﹣1≤k＜0時(shí)，x1=﹣，x2=1，2＜＜3，得，

解得﹣＜k＜-；

當(dāng)k＜﹣1時(shí)，x1=﹣，x2=1，由2＜＜3，得2＜﹣k＜3，

解得﹣3＜k＜﹣2不符合題意舍去，

綜上所述：于x的一元二次方程kx2﹣（k﹣1）x﹣1=0有兩個(gè)“夢(mèng)想根”，k的范圍是：

﹣＜k＜-或﹣3＜k＜﹣2．