【題目】已知:直線y=x﹣3與x軸、y軸分別交于點A、B,拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點A、B,且交x軸于點C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點P為拋物線上一點,且點P在AB的下方,設(shè)點P的橫坐標為m.
①試求當m為何值時,△PAB的面積最大;
②當△PAB的面積最大時,過點P作x軸的垂線PD,垂足為點D,問在直線PD上否存在點Q,使△QBC為直角三角形?若存在,直接寫出符合條件的Q的坐標若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=x2﹣x﹣3;(2)①當m=3時,△PAB的面積最大,最大值是9,②在直線PD上否存在點Q(3,)或(3,﹣),使△QBC為直角三角形.
【解析】
(1)利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點A、B的坐標,再利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式;
(2)①過點P作PD⊥x軸于D,交AB于點E,設(shè)點P的橫坐標為m,則點P的坐標為(m, m2﹣m﹣3),點E的坐標為(m, m﹣3),進而可得出PE的長度,再利用三角形的面積公式即可得出S△PAB=﹣m2+6m,利用配方法即可解決最值問題;
②利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點C的坐標,設(shè)點Q的坐標為(3,y),則CQ2=()2+y2,BC2=9+,BQ2=9+(y+3)2,分∠QCB=90°、∠CBQ=90°及∠CQB=90°三種情況,利用勾股定理即可得出關(guān)于y的方程,解之即可得出結(jié)論.
(1)∵直線y=x﹣3與x軸、y軸分別交于點A、B,
∴點A的坐標為(6,0),點B的坐標為(0,﹣3).
將A(6,0)、B(0,﹣3)代入y=x2+bx+c,得:
,解得:,
∴拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣3.
(2)①過點P作PD⊥x軸于D,交AB于點E,如圖1所示.
設(shè)點P的橫坐標為m,則點P的坐標為(m,m2﹣m﹣3),點E的坐標為(m,m﹣3),
∴PE=m﹣3﹣(m2﹣m﹣3)=﹣m2+2m,
∴S△PAB=×PE×(AD+DO)=×(﹣m2+2m)×6=﹣m2+6m=﹣(m﹣3)2+9,
∴當m=3時,△PAB的面積最大,最大值是9.
②當y=0時,有x2﹣x﹣3=0,
解得:x1=﹣,x2=6,
∴點C的坐標為(﹣,0).
設(shè)點Q的坐標為(3,y),
則CQ2=()2+y2,BC2=9+,BQ2=9+(y+3)2.
當∠QCB=90°時,有CQ2+BC2=BQ2,
即()2+y2+9+=9+(y+3)2,
解得:y=;
當∠CBQ=90°時,有BC2+BQ2=CQ2,
即9++9+(y+3)2=()2+y2,
解得:y=﹣;
當∠CQB=90°時,有BQ2+CQ2=BC2,
即()2+y2+9+(y+3)2=9+,
方程無解.
綜上所示:在直線PD上否存在點Q(3,)或(3,﹣),使△QBC為直角三角形.
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【題目】如圖,邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形AB1C1D1,邊B1C1與CD交于點O,則四邊形AB1OD的面積是( )
A.B.C.D.
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【題目】如圖,在△ABC中,D、E分別是AB、AC的中點,BE=2DE,過點C作CF∥BE交DE的延長線于F,連接CD.
(1)求證:四邊形BCFE是菱形;
(2)在不添加任何輔助線和字母的情況下,請直接寫出圖中與△BEC面積相等的所有三角形(不包括△BEC).
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【題目】如圖,某學生在旗桿EF與實驗樓CD之間的A處,測得∠EAF=60°,然后向左移動10米到B處,測得∠EBF=30°,∠CBD=45°,tan∠CAD= .
(1)求旗桿EF的高(結(jié)果保留根號);
(2)求旗桿EF與實驗樓CD之間的水平距離DF的長.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,且AB=6,點M為⊙O外一點,且MA,MC分別切⊙O于點A、C.點D是兩條線段BC與AM延長線的交點.
(1)求證:DM=AM;
(2)直接回答:
①當CM為何值時,四邊形AOCM是正方形?
②當CM為何值時,△CDM為等邊三角形?
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,點A(﹣2,﹣2),B(0,3),C(3,3),D(4,﹣2),y是關(guān)于x的二次函數(shù),拋物線y1經(jīng)過點A、B、C,拋物線y2經(jīng)過點B、C、D,拋物線y3經(jīng)過點A、B、D,拋物線y4經(jīng)過點A、C、D.下列判斷:
①四條拋物線的開口方向均向下;
②當x<0時,至少有一條拋物線表達式中的y均隨x的增大而減。
③拋物線y1的頂點在拋物線y2頂點的上方;
④拋物線y4與y軸的交點在點B的上方.
所有正確結(jié)論的序號為_____.
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【題目】如圖,正方形 ABCD 中,AD=6,點 E 是對角線 AC 上一點,連接 DE,過點 E 作 EF⊥ ED,交 AB 于點 F,連接 DF,交 AC 于點 G,將△EFG 沿 EF 翻折,得到△EFM,連接DM,交 EF 于點 N,若點 F 是 AB 邊的中點,則 △EDM 的面積是_____.
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【題目】如圖,一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象在第一象限交于A,B兩點,A點的坐標為,B點的坐標為,連接,過B作軸,垂足為C.
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式;
(2)在射線上是否存在一點D,使得是直角三角形,求出所有可能的D點坐標.
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【題目】如圖,邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形AB1C1D1,邊B1C1與CD交于點O,則四邊形AB1OD的面積是( )
A.B.C.D.
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