Question

【題目】已知是等邊三角形，點是的中點，點在射線上，點在射線上，，

（1）如圖1，若點與點重合，求證：．

（2）如圖2，若點在線段上，點在線段上，求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）12.

【解析】

（1）由等邊三角形和等腰三角形的性質得出∠DBC＝∠P，即可得出DB＝DE；

（2）過點D作DH∥BC，交AB于點 H，證明△DQH≌△DPC（ASA），得出HQ＝CP，得出BQ＋BP＝BH＋HQ＋BP＝BH＋BP＋PC＝BH＋BC＝即可求解．

（1）證明：∵△ABC 為等邊三角形，

∴BA＝BC，∠ABC＝60，

∵D為AC的中點，

∴DB 平分∠ABC，

∴∠DBC＝30，

∵

∴∠P＝18012030＝30

∴∠DBC＝∠P，

∴DB＝DP

（2）過點D作DH∥BC，交AB于點 H，如圖2所示：

∵△ABC 為等邊三角形，

∴∠A＝∠B＝∠C＝60，

∵DH∥BC，

∴∠AHD＝∠B＝60，∠ADH＝∠C＝60，

∴∠AHD＝∠ADH＝∠C＝60，∠HDC＝120，

∴△ADH 是等邊三角形，

∴DH＝AD，

∵D為AC 的中點，

∴DA＝DC，

∴DH＝DC，

∵∠PDQ＝120，∠HDC＝120，

∴∠PDH＋∠QDH＝∠PDH＋∠CDP，

∴∠QDH＝∠CDP，

在△DQH 和△DPC 中，

，

∴△DQH≌△DPC，

∴HQ＝CP，

∴BQ＋BP＝BH＋HQ＋BP＝BH＋BP＋PC＝BH＋BC＝=12,

即=12.