Question

【題目】背景知識：

如圖（2），在Rt△ABC中，∠ACB=90°，，則：.

（1）解決問題：

如圖（2），∠ACD = 90°，AC = DC,MN是過點(diǎn)A的直線，過點(diǎn)D作DB⊥MN于點(diǎn)B，連接CB，試探究線段BA、BC、BD之間的數(shù)量關(guān)系.

不妨過點(diǎn)C作CE⊥CB,與MN交于點(diǎn)E，易發(fā)現(xiàn)圖中出現(xiàn)了一對全等三角形，即 ≌ ，由此可得線段BA、BC、BD之間的數(shù)量關(guān)系是: .

（2）類比探究：

將圖（2）中的MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置，其它條件不變，試探究線段BA、BC、BD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

（3）拓展應(yīng)用：

將圖（2）中的MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖（4）的位置，其它條件不變，若BD=2，BC=，則AB的長為 .

Answer 1

【答案】（1）；(2) BD—AB=BC，理由詳見解析；（3）4.

【解析】

（1）利用ASA證得，所以AE=BD，EB=AE+AB=BD+AB∵∴

（2）過點(diǎn)C作CE⊥CB, 與MN交于點(diǎn)E，利用ASA證得△ACE≌△DCB，進(jìn)而求得線段之間的關(guān)系，同（1），即可證出.

（3）過點(diǎn)C作EC⊥CB交MN于點(diǎn)E，同（2），可證：，即可求出AB的長.

（1）

(2) BD—AB=BC .

過點(diǎn)C作CE⊥CB, 與MN交于點(diǎn)E,則∠ECB=90°

∴∠ECB+∠BCA=∠ACD+∠BCA,即：∠ECA=∠BCD.

∵DB⊥MN, ∴∠ABD=∠ACD=90°,

記AC與BD的交點(diǎn)為點(diǎn)F，則∠BFA=∠DFC， ∴∠BAF=∠FDC

在△ACE與△DCB中，

∴△ACE≌△DCB（ASA）

∴AE=BD, CE=CB

∴在Rt△BCE中, BE=BC，

∴BD =AE=BA+BE= BA+BC

即BD—AB=BC .

(3)

如圖所示，過點(diǎn)C作EC⊥CB交MN于點(diǎn)E

同（2），可證：

∴AE=BD=2