Question

【題目】如圖，一次函數(shù)y=ax﹣b與正比例函數(shù)y=kx的圖象交于第三象限內(nèi)的點A，與y軸交于B（0，﹣4），且OA=AB，△AOB的面積為6．

（1）求兩個函數(shù)的解析式；
（2）若有一個點M（2，0），直線BM與AO交于點P，求點P的坐標；
（3）在x軸上是否存在點E，使S△ABE=5？若存在，求點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，

作AD⊥OB軸于D，

∵B（0，﹣4），

∴OB=4，

∵OA=AB，

∴OD=BD= OB=2，

∵S△AOB=6，

∴S△AOB= OBAD= ×4AD=6，

∴AD=3

而點A在第三象限內(nèi)，則A（﹣3，﹣2），

又點A在y=kx上，

∴﹣2=﹣3k，∴k= ，

∴正比例函數(shù)解析式為：y= x，

又y=ax﹣b通過A、B，

∴ ，

∴

∴一次函數(shù)解析式為：y=﹣ x﹣4

（2）

解：由（1）知，正比例函數(shù)解析式為：y= x①，

∵B（0，﹣4），M（2，0），

∴直線BM的解析式為y=2x﹣4②，

聯(lián)立①②得，點P（3，2）

（3）

解：如圖2，

由（1）知，一次函數(shù)解析式為：y=﹣ x﹣4

∴C（﹣6，0）

∵點E在x軸上，設(shè)E（x，0），

∴CE=|x+6|，

∵S△ABE=5，

S△ABE=S△BCE﹣S△ACE= BE|yB|﹣ BE|yA|= BE（|yB|﹣|yA|）= |x+6|（4﹣2）=|x+6|=5

∴x=﹣1或x=﹣11；

∴E（﹣1，0）或（﹣11，0）能夠使得△ABE的面積為5．

【解析】（1）利用等腰三角形的三線合一得出OD= OB=2，再用三角形的面積求出AD=3，即可得出結(jié)論；（2）利用待定系數(shù)法求出直線BM的解析式和正比例函數(shù)解析式，聯(lián)立即可得出結(jié)論；（3）利用三角形的面積的差，建立方程求解即可得出結(jié)論．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解一次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識，掌握一般地，一次函數(shù)y=kx+b有下列性質(zhì)：（1）當k>0時，y隨x的增大而增大（2）當k<0時，y隨x的增大而減�。�