Question

【題目】如圖，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以BC為直徑作⊙O交AB于點D，E是線段AC的中點，連接ED．

（1）求證：ED是⊙O切線．

（2）求線段AD的長度．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）由切線長定理知EC＝ED，則∠ECD＝∠EDC，那么∠A和∠DEC就是等角的余角，由此可證得AE＝DE，即E是AC的中點．在證明時，可連接OD，證OD⊥DE即可；

（2）由勾股定理易求得AB的長；可連接CD，由圓周角定理知CD⊥AB，易知△ACD∽△ABC，可得關于AC、AD、AB的比例關系式，即可求出AD的長．

（1）證明：連接OD，DE，

∵DE是Rt△ADC的中線；

∴ED＝EC，

∴∠EDC＝∠ECD；

∵OC＝OD，

∴∠ODC＝∠OCD；

∴∠EDO＝∠EDC+∠ODC＝∠ECD+∠OCD＝∠ACB＝90°；

∴ED⊥OD，

∴ED與⊙O相切．

（2）在Rt△ACB中，

∵AC＝3cm，BC＝4cm，∠ACB＝90°，

∴AB＝5cm；

連接CD，∵BC為直徑，

∴∠ADC＝∠BDC＝90°；

∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，

∴Rt△ADC∽Rt△ACB；

∴，

∴．