【題目】請閱讀下列材料:
問題:如圖1,在等邊三角形ABC內有一點P,且PA=2,PB=,PC=1、求∠BPC度數的大小和等邊三角形ABC的邊長.
李明同學的思路是:將△BPC繞點B逆時針旋轉60°,畫出旋轉后的圖形(如圖2),連接PP′,可得△P′PB是等邊三角形,而△PP′A又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可證),所以∠AP′B=150°,而∠BPC=∠AP′B=150°,進而求出等邊△ABC的邊長為,問題得到解決.
請你參考李明同學的思路,探究并解決下列問題:如圖3,在正方形ABCD內有一點P,且PA=,BP=,PC=1.求∠BPC度數的大小和正方形ABCD的邊長.
【答案】(1)135°;(2);
【解析】試題分析:
(1)如圖,將△BPC繞點B逆時針旋轉90°,得△BP′A,則△BPC≌△BP′A,由此可得:AP′=PC=1,BP=BP′=;連接PP′,由∠PBP′=90°可得PP′=2,∠BP′P=45°,這樣在△AP′P中由勾股定理的逆定理可得∠AP′P=90°,從而可得∠AP′B=135°,由此可得∠BPC=∠AP′B=135°;
(2)過點B作BE⊥AP′,交AP′的延長線于點E,結合(1)中∠AP′B=135°可證得△BEP′是等腰直角三角形,結合BP′=,可得EP′=BE=1,從而可得AE=2,結合BE=1在Rt△ABE中由勾股定理即可求得AB的長.
試題解析:
(1)如圖,
將△BPC繞點B逆時針旋轉90°,得△BP′A,則△BPC≌△BP′A.
∴AP′=PC=1,BP=BP′=;
連接PP′,
在Rt△BP′P中,
∵BP=BP′=,∠PBP′=90°,
∴PP′=2,∠BP′P=45°;
在△AP′P中,AP′=1,PP′=2,AP=,
∵,即AP′2+PP′2=AP2;
∴△AP′P是直角三角形,即∠AP′P=90°,
∴∠AP′B=135°,
∴∠BPC=∠AP′B=135°.
(2)過點B作BE⊥AP′,交AP′的延長線于點E,
∴∠BEP′=90°,
∵∠AP′B=135°,
∴∠EP′B=45°,
∴△BEP′是等腰直角三角形,
∵BP′=,
∴EP′=BE=1,
∴AE=AP′+EP′=2;
∴在Rt△ABE中,由勾股定理,得AB=;
∴∠BPC=135°,正方形邊長為.
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】小敏為了解本市的空氣質量情況,從市環(huán)保局隨機抽取了若干天的空氣質量情況作為標本進行統(tǒng)計,繪制成如圖所示的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖(部分信息為給出)
請你根據圖中提供的信息,解答下列問題:
(1)本次調查中共抽取了多少天的空氣質量情況作為標本?
(2)求輕微污染天數并補全條形統(tǒng)計圖;
(3)請你估計該市這一年(365天)空氣質量達到“優(yōu)”和“良”的總天數.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC,垂足是D,AE平分∠BAD,交BC于點E.在△ABC外有一點F,使FA⊥AE,FC⊥BC.
(1)求證:BE=CF;
(2)在AB上取一點M,使BM=2DE,連接MC,交AD于點N,連接ME.求證:①ME⊥BC;②DE=DN.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,在以AB的中點O為坐標原點,AB所在直線為x軸建立的平面直角坐標系中,將△ABC繞點B順時針旋轉,使點A旋轉至y軸的正半軸上的A′處,若AO=OB=2,則陰影部分面積為( 。
A. π B. π﹣1 C. +1 D.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】新華文具用品店最近購進了一批鋼筆,進價為每支6元,為了合理定價,在銷售前4天試行機動價格,賣出時每支以10元為標準,超過10元的部分記為正,不足10元的部分記為負。文具店記錄了這四天該鋼筆的售價情況和售出情況,如下表所示:
第1天 | 第2天 | 第3天 | 第4天 | |
每支價格相對標準價格(元) | +1 | 0 | -1 | -2 |
售出支數(支) | 12 | 15 | 32 | 33 |
(1)填空:這四天中賺錢最多的是第______天,這天賺了______元錢;
(2)求新華文具用品店這四天出售這種鋼筆一共賺了多少錢;
(3)新華文具用品店準備用這四天賺的錢全部購進這種鋼筆,進價仍為每支6元為了促銷這種鋼筆,每只鋼筆的售價在10元的基礎上打九折,本次購進的這種鋼筆全部售出后共賺了多少錢?
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,某校一幢教學大樓的頂部豎有一塊“傳承文明,啟智求真”的宣傳牌CD.小明在山坡的坡腳A處測得宣傳牌底部D的仰角為60°,沿山坡向上走到B處測得宣傳牌頂部C的仰角為45°.已知山坡AB的坡度i=1:,AB=10米,AE=15米,求這塊宣傳牌CD的高度.(測角器的高度忽略不計,結果精確到0.1米.參考數據:≈1.414,≈1.732)
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】“校園安全”受到全社會的廣泛關注,某中學對部分學生就校園安全知識的了解程度,采用了隨機抽樣調查的方式,并根據收集到的信息進行統(tǒng)計,繪制了下面兩幅尚不完整的統(tǒng)計圖.
請你根據統(tǒng)計圖中所提供的信息解答下列問題:
(1)接受問卷調查的學生共有 人,扇形統(tǒng)計圖中“基本了解”部分所對應扇形的圓心角為 .
(2)請補全條形統(tǒng)計圖.
(3)若從對校園安全知識達到“了解”程度的3個女生和2個男生中隨機抽取2人參加校園安全知識競賽,請用畫樹狀圖或列表的方法求出恰好抽到1個男生和1個女生的概率.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC內接于⊙O,且AB為⊙O的直徑OD⊥AB,與AC交于點E,與過點C的⊙O切線交于點D.
(1)若AC=6,BC=3,求OE的長.
(2)試判斷∠A與∠CDE的數量關系,并說明理由.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】仔細觀察下面的日歷,回答下列問題:
(1)任意用正方形框圈出四個日期,如果正方形框中的第一個數(左上角的數)為,用代數式表示正方形框中的四個數的和;
(2)若將正方形框上下左右移動,可框住另外的四個數,這四個數的和能等于嗎?如果能,依次寫出這四個數;如果不能,請說明理由.
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