Question

【題目】如圖，△ABC∽△ADE，∠BAC =∠ADE =90°，AB=4，AC=3，F是DE的中點(diǎn)，若點(diǎn)E是直線BC上的動點(diǎn)，連接BF，則BF的最小值是_______．

Answer 1

【答案】2

【解析】

連接DB，先求出∠DBE=90°，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，可得BF=DE，再根據(jù)當(dāng)AE⊥BC時，AE最短，此時DE最短，根據(jù)直角三角形的面積以及相似三角形的性質(zhì)，求得DE的最小值，即可得出BF的最小值．

如圖，連接DB，

∵∠BAC =90°，AB=4，AC=3，

∴BC=5，

∵△ABC∽△ADE，

∴∠ADE=∠ABC，

又∵∠AOD=∠EOB，

∴△AOD∽△EOB，

∴，

又∵∠AOE=∠DOB，

∴△AOE∽△DOB，

∴∠DBO=∠AEO，

又∵Rt△ADE中,∠ADE+∠AEO=90，又∠ADE=∠ABC，

∴∠DBO +∠ABC =90,即∠DBE=90，

∵F是DE的中點(diǎn)，

∴BF=DE，

∵△ABC∽△ADE，

∴當(dāng)AE⊥BC時，AE最短，此時DE最短，

當(dāng)AE⊥BC時,AE= =，

∵△ABC∽△ADE，

∴ ，即3DE= ，

∴DE=4，

∴BF=×4=2.

故答案為：2.