【題目】已知拋物線的頂點為點.
(1)求證:不論為何實數,該拋物線與軸總有兩個不同的交點;
(2)若拋物線的對稱軸為直線,求的值和點坐標;
(3)如圖,直線與(2)中的拋物線并于兩點,并與它的對稱軸交于點,直線交直線于點,交拋物線于點.求當為何值時,以為頂點的四邊形為平行四邊形.
【答案】(1)詳見解析;(2),點坐標為;(3)或或時,可使得為頂點的四邊形是平行四邊形.
【解析】
(1)從的判別式出發(fā),判別式總大于等于3,而證得;
(2)根據拋物線的對稱軸來求的值;然后利用配方法把拋物線解析式轉化為頂點式,由此可以寫出點的坐標;
(3)根據平行四邊形的性質得到:.
需要分類討論:①當四邊形是平行四邊形,,通過解該方程可以求得的值;
②當四邊形是平行四邊形,,通過解該方程可以求得的值.
解:(1),
∵不論為何實數,總有,
,
∴無論為何實數,關于的一元二次方程總有兩個不相等的實數根,
∴無論為何實數,拋物線與軸總有兩個不同的交點.
(2)拋物線的對稱軸為直線,
,即,
此時,拋物線的解析式為,
∴頂點坐標為;
(3)為頂點的四邊形是平行四邊形,
四邊形是平行四邊形(直線在拋物線的上方)或四邊形(直線在拋物線的下方),如圖所示,
由已知,
,
,
,
①當四邊形是平行四邊形,
,
整理得,,
解得(不合題意,舍去),;
②當四邊形是平行四邊形,
,
整理得,
解得,,
綜上,或或時,可使得為頂點的四邊形是平行四邊形.
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系 xOy中,反比例函數 y x 0 的圖象經過點 A2,3 ,直線y ax , y 與反比例函數 y x 0 分別交于點 B,C兩點.
(1)直接寫出 k 的值 ;
(2)由線段 OB,OC和函數 y x 0 在 B,C 之間的部分圍成的區(qū)域(不含邊界)為 W.
① 當 A點與 B點重合時,直接寫出區(qū)域 W 內的整點個數 ;
② 若區(qū)域 W內恰有 8個整點,結合函數圖象,直接寫出 a的取值范圍 .
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線交x軸于A,B兩點(A在B右邊),A(3,0),B(1,0)交y軸于C點,C(0,3),連接AC;
(1)求拋物線的解析式;
(2)P為拋物線上的一點,作PE⊥CA于E點,且CE=3PE,求P點坐標;
(3)將原拋物線向上平移1個單位拋物線的對稱軸交x軸于H點,過H作直線MH,NH,當MH⊥NH時,求MN恒過的定點坐標.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】身高1.65米的兵兵在建筑物前放風箏,風箏不小心掛在了樹上.在如圖所示的平面圖形中,矩形CDEF代表建筑物,兵兵位于建筑物前點B處,風箏掛在建筑物上方的樹枝點G處(點G在FE的延長線上).經測量,兵兵與建筑物的距離BC=5米,建筑物底部寬FC=7米,風箏所在點G與建筑物頂點D及風箏線在手中的點A在同一條直線上,點A距地面的高度AB=1.4米,風箏線與水平線夾角為37°.
(1)求風箏距地面的高度GF;
(2)在建筑物后面有長5米的梯子MN,梯腳M在距墻3米處固定擺放,通過計算說明:若兵兵充分利用梯子和一根米長的竹竿能否觸到掛在樹上的風箏?
(參考數據:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)
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【題目】如圖,已知AB是圓O的直徑,弦CD⊥AB,垂足為H,在CD上有點N滿足CN=CA,AN交圓O于點F,過點F的AC的平行線交CD的延長線于點M,交AB的延長線于點E.
(1)求證:EM是圓O的切線;
(2)若AC:CD=5:8,AN=3,求圓O的直徑長度.
(3)在(2)的條件下,直接寫出FN的長度.
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【題目】尼泊爾發(fā)生了里氏8.1級地震,某中學組織了獻愛心捐款活動,該校教學興趣小組對本校學生獻愛心捐款額做了一次隨機抽樣調查,并繪制了不完整的頻數分布表和頻數分布直方圖.如圖所示:
(1)a等于多少?b等于多少?
(2)補全頻數分布直方圖;若制成扇形統(tǒng)計圖,求捐款額在之間的扇形圓心角的度數;
(3)該校共有1600名學生,估計這次活動中愛心捐款額不低于20元的學生有多少人?
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AC=BC,AB⊥x軸,垂足為A.反比例函數y= (x>0)的圖象經過點C,交AB于點D.已知AB=4,BC=.
(1)若OA=4,求k的值;
(2)連接OC,若BD=BC,求OC的長.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】某中學的一個數學興趣小組在本校學生中開展了主題為“霧霾知多少”的專題調查括動,采取隨機抽樣的方式進行問卷調查,問卷調查的結果分為“A.非常了解”、“B.比較了解”、“C.基本了解”、“D.不太了解”四個等級,將所得數據進行整理后,繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖表,請你結合圖表中的信息解答下列問題
等級 | A | B | C | D |
頻數 | 40 | 120 | 36 | n |
頻率 | 0.2 | m | 0.18 | 0.02 |
(1)表中m= ,n= ;
(2)扇形統(tǒng)計圖中,A部分所對應的扇形的圓心角是 °,所抽取學生對丁霧霾了解程度的眾數是 ;
(3)若該校共有學生1500人,請根據調查結果估計這些學生中“比較了解”人數約為多少?
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】為了解某中學學生課余生活情況,對喜愛看課外書、體育活動、看電視、社會實踐四個方面的人數進行調查統(tǒng)計,現從該校隨機抽取n名學生作為樣本,采用問卷調查的方式收集數據參與問卷調查的每名學生只能選擇其中一項,并根據調查得到的數據繪制成了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖,由圖中提供的信息,解答下列問題:
補全條形統(tǒng)計圖;
若該校共有學生2400名,試估計該校喜愛看電視的學生人數.
若調查到喜愛體育活動的4名學生中有3名男生和1名女生,現從這4名學生中任意抽取2名,求恰好抽到2名男生的概率.
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