Question

【題目】將直角邊長(zhǎng)為6的等腰直角△AOC放在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C、A分別在x軸，y軸的正半軸上，一條拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、C及點(diǎn)B（﹣3，0）．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作AB的平行線交AC于點(diǎn)E，連接AP，當(dāng)△APE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)P（t，t）在拋物線上，則稱點(diǎn)P為拋物線的不動(dòng)點(diǎn)，將（1）中的拋物線進(jìn)行平移，平移后，該拋物線只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，且頂點(diǎn)在直線y=2x﹣ 上，求此時(shí)拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵B（﹣3，0），C（6，0），設(shè)拋物線為y=a（x+3）（x﹣6），過A（0，6）

∴6=a（0+3）（0﹣6），

解得a=﹣ ，

∴y=﹣ （x+3）（x﹣6），

即y=﹣ x2+x+6；

（2）

解：設(shè)P（m，0），

如圖，

∵PE∥AB，

∴△PCE∽△BCA，

∴ ，

，

∴S△PCE= ，

∴S=S△APC﹣S△PCE=﹣ m2+m+6，

=﹣ （m﹣ ）2+ ，

∴當(dāng)m= 時(shí)，S有最大值為 ；

∴P（ ，0）

（3）

解：設(shè)平移后的拋物線的頂點(diǎn)為G（h，k），

∴拋物線解析式為y=﹣ （x﹣h）2+k，

由拋物線的不動(dòng)點(diǎn)的定義，得，t=﹣ （t﹣h）2+k，

即：t2+（3﹣2h）t+h2﹣3k=0，

∵平移后，拋物線只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，

∴此方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

∴△=（3﹣2h）2﹣4（h2﹣3k）=0，

∴h﹣k= ①，

∵頂點(diǎn)在直線y=2x﹣ 上，

∴k=2k﹣ ②，

∴聯(lián)立①②得，h=1，k= ，

∴拋物線的解析式為y=﹣ （x﹣1）2+ =﹣ x2+ x﹣

【解析】（1）已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，所以設(shè)拋物線方程為兩點(diǎn)式：y=a（x+3）（x﹣6），然后把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入該函數(shù)解析式即可求得系數(shù)a的值；（2）利用相似三角形的性質(zhì)得出S△PCE= ，進(jìn)而求出△APE的面積S，即可得出點(diǎn)P坐標(biāo)；（3）利用拋物線上不動(dòng)點(diǎn)的定義以及不動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)得出方程h﹣k= ①，再用平移后的拋物線的頂點(diǎn)在直線y=2x﹣ 上，得出方程k=2k﹣ ②，聯(lián)立解方程組即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)和相似三角形的判定的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一元二次方程的解是其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)．當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，圖像與x軸沒有交點(diǎn)．；相似三角形的判定方法:兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似（ASA）；直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似； 兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）；三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似（SSS）才能正確解答此題．