Question

【題目】在平面直角坐標系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的實數(shù)根，比如對于方程 ，操作步驟是：
第一步：根據(jù)方程系數(shù)特征，確定一對固定點A（0，1），B（5，2）;
第二步：在坐標平面中移動一個直角三角板，使一條直角邊恒過點A，另一條直角邊恒過點B；
第三步：在移動過程中，當三角板的直角頂點落在x軸上點C處時，點C 的橫坐標m即為該方程的一個實數(shù)根（如圖1）
第四步：調整三角板直角頂點的位置，當它落在x軸上另一點D處時，點D 的橫坐標為n即為該方程的另一個實數(shù)根。

（1）在圖2 中，按照“第四步“的操作方法作出點D（請保留作出點D時直角三角板兩條直角邊的痕跡）
（2）結合圖1，請證明“第三步”操作得到的m就是方程 的一個實數(shù)根；
（3）上述操作的關鍵是確定兩個固定點的位置，若要以此方法找到一元二次方程 的實數(shù)根，請你直接寫出一對固定點的坐標；
（4）實際上，（3）中的固定點有無數(shù)對，一般地,當 ， ， ， 與a，b，c之間滿足怎樣的關系時，點P（ ， ），Q（ ， ）就是符合要求的一對固定點？

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖2所示：

（2）

證明：在圖1中，過點B作BD⊥x軸，交x軸于點D.

根據(jù)題意可證△AOC∽△CDB.

∴.

∴.

∴m（5-m）=2.

∴m2-5m+2=0.

∴m是方程x2-5x+2=0的實數(shù)根.

（3）

解：方程ax2+bx+c=0（a≠0）可化為

x2+x+=0.

模仿研究小組作法可得：A（0，1），B（-，）或A（0，），B（-，c）等.

（4）

解：以圖3為例：P（m1,n1）Q（m2,n2）,

設方程的根為x，根據(jù)三角形相似可得.=.

上式可化為x2-(m1+m2）x+m1m2+n1n2=0.

又ax2+bx+c=0,

即x2+x+=0.

比較系數(shù)可得：m1+m2=-.

m1m2+n1n2=.

【解析】（1）根據(jù)題目中給的操作步驟操作即可得出圖2中的圖.
（2）在圖1中，過點B作BD⊥x軸，交x軸于點D.依題意可證△AOC∽△CDB.然后根據(jù)相似三角形對應邊的比相等列出式子，化簡后為m2-5m+2=0，從而得證。
（3）將方程ax2+bx+c=0（a≠0）可化為x2+x+=0.模仿研究小組作法即可得答案。
（4）以圖3為例：P（m1,n1）Q（m2,n2）,設方程的根為x，根據(jù)三角形相似可得.=.化簡后為x2-(m1+m2）x+m1m2+n1n2=0.
又x2+x+=0.再依據(jù)相對應的系數(shù)相等即可求出。
【考點精析】利用根與系數(shù)的關系和相似三角形的判定與性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數(shù)a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得的商；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．