【題目】如圖,已知在平行四邊形ABCD中,AB=10,BC=16,cosB=,點P是邊BC上的動點,以CP為半徑的圓C與邊AD交于點E、F(點F在點E的右側(cè)),射線CE與射線BA交于點G.
(1)當(dāng)圓C經(jīng)過點A時,求CP的長
(2)聯(lián)結(jié)AP,當(dāng)AP//CG時,求弦EF的長
(3)當(dāng)△AGE是等腰三角形時,求圓C的半徑長.
【答案】(1)10;(2);(3)
【解析】
(1)當(dāng)點A在⊙C上時,點E和點A重合,過點A作AH⊥BC于H,根據(jù),求出BH的長度,得出AH垂直平分BC,由垂直平分線的性質(zhì)得到AB=AC,從而得到CP=AC即可;
(2)首先得出四邊形APCE是菱形,進(jìn)而得出CN的長,進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出CP,再由勾股定理及垂徑定理求出EF的長;
(3)∠GAE≠∠BGC,只能∠AGE=∠AEG,利用AD∥BC,得出△GAE∽△GBC,列出相似比解出AE=6,從而得出EN的值,再由勾股定理即可求出CE的值.
解:(1)過點A作AH⊥BC,垂足為H,聯(lián)結(jié)AC.
在Rt△AHB中,∠AHB=90°,
∵AB=10,
∴BH=8,AH=
∵BC=16,
∴AH垂直平分BC,
∴AB=AC=10,
∵圓C經(jīng)過點A,
∴CP=AC=10,
(2)過點C作CM⊥AD,垂足為M,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
AD∥BC,
若AP//CG,
則四邊形APCE為平行四邊形,
∵CE=CP,
∴平行四邊形APCE是菱形,
連接AC,PE交于點N,則AC⊥PE,
∴AN=CN=,
由(1)可知AC=AB=10,CM=AH=6
∴AN=CN=5,∠ABC=∠ACB,
∴CP=CE=,
則EF=2EM=,
∴當(dāng)AP∥CG時,弦EF的長為.
(3)∵,
∴∠B﹤45°,
又∵∠BCG﹤90°,
∴∠BGC﹥45°,
又∵∠AEG=∠BCG≥∠ACB=∠B,
∴當(dāng)∠AEG=∠B時,A、E、G重合,
只能∠AGE=∠AEG,
∵AD∥BC,
∴△GAE∽△GBC
∴,即,解得
∴EN=AN-AE=2,
∴.
∴圓C的半徑長為
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】九(1)班組織班級聯(lián)歡會,最后進(jìn)入抽獎環(huán)節(jié),每名同學(xué)都有一次抽獎機(jī)會,抽獎方案如下:將一副撲克牌中點數(shù)為“2”,“3”,“3”,“5”,“6”的五張牌背面朝上洗勻,先從中抽出1張牌,再從余下的4張牌中抽出1張牌,記錄兩張牌點數(shù)后放回,完成一次抽獎,記每次抽出兩張牌點數(shù)之差為,按表格要求確定獎項.
(1)用列表或畫樹狀圖的方法求出甲同學(xué)獲得一等獎的概率;
(2)是否每次抽獎都會獲獎,為什么?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,點D在AB邊上,點D到點A的距離與點D到點C的距離相等.
(1)利用尺規(guī)作圖作出點D,不寫作法但保留作圖痕跡.
(2)若△ABC的底邊長5,周長為21,求△BCD的周長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB=AC,⊙O為△ABC的外接圓,AF為⊙O的直徑,四邊形ABCD是平行四邊形.
(1)求證:AD是⊙O的切線;
(2)若∠BAC=45°,AF=2,求陰影部分的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線(b,c為常數(shù)).
(1)若拋物線的頂點坐標(biāo)為(1,1),求b,c的值;
(2)若拋物線上始終存在不重合的兩點關(guān)于原點對稱,求c的取值范圍;
(3)在(1)的條件下,存在正實數(shù)m,n( m<n),當(dāng)m≤x≤n時,恰好有,求m,n的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣如何是每位教師非常關(guān)注的問題.為此,某校教師對該校部分學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查(把學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣分為三個層次,A層次:很感興趣;B層次:較感興趣;C層次:不感興趣);并將調(diào)查結(jié)果繪制成了圖①和圖②的統(tǒng)計圖(不完整).請你根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問題:
(1)此次抽樣調(diào)查中,共調(diào)查了 名學(xué)生;
(2)將圖①補(bǔ)充完整;
(3)求圖②中C層次所在扇形的圓心角的度數(shù);
(4)根據(jù)抽樣調(diào)查的結(jié)果,請你估計該校1200名學(xué)生中大約有多少名學(xué)生對學(xué)習(xí)感興趣(包括A層次和B層次).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)圖象的一部分,與x軸的交點A在點(2,0)和(3,0)之間,對稱軸是x=1.對于下列說法:①ab<0;②2a+b=0;③3a+c>0;④當(dāng)﹣1<x<3時,y>0;其中正確的是( )
A.①②B.①②④C.②③④D.③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,等腰的底邊長為4,面積為12,腰的垂直平分線分別交邊于點,若點D是的中點,點M為線段上一動點,當(dāng)的周長最小時,長為( )
A.1B.3C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】問題提出:將正m邊形(m≥3)不斷向外擴(kuò)展,每擴(kuò)展一個正m邊形每條邊上的點的個數(shù)(以下簡稱“點數(shù)”)就增加一個,則n個正m邊形的點數(shù)總共有多少個?
問題探究:為了解決上面的問題,我們將采取將一般問題特殊化的策略,先從簡單和具體的情形入手:
探究一:n個正三角形的點數(shù)總共有多少個?
如圖1﹣1,1個正三角形的點數(shù)總共有3個;如圖1﹣2,2個正三角形的點數(shù)總共有6個;如圖1﹣3,3個正三角形的點數(shù)總共有10個;…;n個正三角形的點數(shù)總共有 個.
探究二:n個正四邊形的點數(shù)總共有多少個?
如圖2﹣1,1個正四邊形的點數(shù)總共有4個;如圖2﹣2,2個正四邊形的點數(shù)總共有9個;
如圖2﹣3,連接AC,得到兩個三角形△ABC和△ADC,這兩個三角形相同之處在于,BC邊與CD邊都有相同個數(shù)的點,即4個點,并且與BC、CD平行的邊上依次減少一個點直至頂點A,每個三角形都有10個點,兩個三角形就是2×10個點.因為這兩個三角形在AC上有4個點重合,所以3個正四邊形的點數(shù)總共有2×10﹣4=16(個).
如圖2﹣4,4個正四邊形的點數(shù)總共有 個;……n個正四邊形的點數(shù)總共有 個.
探究三:n個正五邊形的點數(shù)總共有多少個?
類比探究二的方法,求4個正五邊形的點數(shù)總共有多少個?并敘述你的探究過程.
n個正五邊形的點數(shù)總共有 個.
探究四:n個正六邊形的點數(shù)總共有 個.
問題解決:n個正m邊形的點數(shù)總共有 個.
實際應(yīng)用:若99個正m邊形的點數(shù)總共有39700個,求m的值.
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