【題目】已知:直線y=ax+b與拋物線的一個交點為(02),同時這條直線與x軸相交于點A,且相交所成的角為45°

1)點A的坐標為__________

2)若拋物線x軸交于點M、N(點M在點N左邊),將此拋物線作關(guān)于y軸對稱,M的對應點為E,兩拋物線相交于點F,連接NF,EFNEFP是軸對稱后的拋物線上的點,使得NEP的面積與NEF的面積相等,則P點坐標為_________.

【答案】-2,0)或(20 2,2)或(1,-2)或(--1-2

【解析】

1)設(0,2)為點B,根據(jù)直線與y軸的交點坐標,以及與x軸的相交夾角角度,可知OB=OA=2,即可得點A的坐標;

2)根據(jù)(1)的結(jié)論,代入直線解析式,求出a,b的值,再代入拋物線的解析式求c的值,根據(jù)拋物線與x軸有兩個交點求出拋物線的解析式,根據(jù)題意作出關(guān)于y軸對稱的圖象,求出各個交點的坐標.設點P的坐標為(x,y),根據(jù)三角形的面積公式可知NEPNEF的高相等,由此判斷y的取值,將y代入拋物線的解析式即可求出點P的坐標.

解:(1)設直線與拋物線的交點(0,2)為點B

則將點B代入直線y=ax+b,解得b=2

且直線與x軸相交的夾角為45°,

則△AOB為等腰直角三角形,

∴OA=OB=2,

a0,點A的坐標為(-2,0),

a0,點A的坐標為(20),

A的坐標為(-2,0)或(2,0).

2)當a0時,將A-20),B02)代入直線解析式得,解得

又∵拋物線過點B0,2),

∴ c=2,

拋物線的解析式為

,

拋物線與x軸沒有交點.

a0時,將A2,0),B02)代入直線解析式得,解得

又∵拋物線過點B0,2),

∴ c=2,

拋物線的解析式為

,

拋物線與x軸有兩個交點,

∴拋物線的解析式為

y=0,得,解得,,

∵點M在點N左邊,

∴點M的坐標為(,0),點N的坐標為(,0),

此拋物線作關(guān)于y軸對稱,圖象如下圖所示,M的對應點為E,兩拋物線相交于點F,即點F為點B,

∴點F的坐標為(0,2),點E的坐標為(,0),

NE=-()=2,OF=2,

,

設使得NEP的面積與NEF的面積相等的P點坐標為(x,y),

由三角形面積公式可知,以NE為底,要使NEP的面積與NEF的面積相等,則高一樣,

,即

時,代入,解得,,

0,2)與點F重合,

P的坐標為(﹣2,2);

時,代入,解得,

P的坐標為(,﹣2)或(,﹣2),

綜上所述,滿足條件的點P共有三個,其坐標分別為(﹣22)或(,﹣2)或(,﹣2).

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