【題目】如圖,已知正方形的邊長為4是邊上的一個動點,連接,過點的垂線交于點,以為邊作正方形,頂點在線段上,對角線,相交于點.

1)若,則 ;

2)①求證:點一定在的外接圓上;

②當點從點運動到點時,點也隨之運動,求點經(jīng)過的路徑長;

3)在點從點到點的運動過程中,的外接圓的圓心也隨之運動,求該圓心到邊的距離的最大值.

【答案】(1);(2)①詳見解析;②2;(3)

【解析】

1)由正方形的性質(zhì)得出∠C=B=EPG=90°PFEG,CD=BC=4,∠OEP=45°,由角的互余關(guān)系證出∠BEP=DPC,得出CDP∽△BPE,得出對應邊成比例即可求出BE的長;
2)①BP、OE四點共圓,即可得出結(jié)論;
②連接BO、BD,由勾股定理求出BD=4,由圓周角定理得出∠OBP=OEP=45°,周長點OBD上,當P運動到點C時,OBD的中點,即可得出答案;
3)設(shè)的外接圓的圓心為M,作MNCBN,由三角形中位線定理得出MN=BE,設(shè)BP=x,則CP=4-x,由相似三角形的對應邊成比例求出BE=x-x2=-x-22+1,由二次函數(shù)的最大值求出BE的最大值為1,得出MN的最大值=即可.

解:(1)∵四邊形ABCD、四邊形PEFG是正方形,
∴∠C=B=EPG=90°,PFEG,CD=BC=4,∠OEP=45°
∴∠BEP+BPE=90°,∠DPC+BPE=90°
∴∠BEP=DPC,
CDP∽△BPE;

,即

BE=

2)①證明:如圖,
PE的中點Q,連接BQ,OQ

∵∠POE=90°,
OQ=PE
∵△BPE是直角三角形,
∴點QRtBPE外接圓的圓心,
BQ=PE,
OQ=BQ
∴點O一定在APE的外接圓上;(到圓心的距離等于半徑的點必在此圓上)
②解:連接OB、BD,如圖所示:

∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠ABC=90°,∠DBC=45°,
BD==4
B、P、O、E四點共圓,
∴∠OBP=OEP=45°,
∴點OBD上,
P運動到點C時,OBD的中點,OB=BD=2,
即點O經(jīng)過的路徑長為2
3)解:設(shè)BPE的外接圓的圓心為M,作MNBCN,如圖:

MNBE
ME=MP,
BN=PN,
MN=BE,
設(shè)BP=x,則PC=4-x,
由(1)得:CDP∽△BPE
,即,
解得:BE=x-x2=-x-22+1

x=2時,BE的最大值為1,此時MN的值最大=
APE的圓心到BC邊的距離的最大值為

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1 2

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