Question

【題目】如圖所示，A、B為兩個(gè)村莊，AB、BC、CD為公路，BD為地，AD為河寬，且CD與AD互相垂直.現(xiàn)在要從E處開始鋪設(shè)通往村莊A、村莊B的一電纜，共有如下兩種鋪設(shè)方案：

方案一：； 方案二：.

經(jīng)測量得AB=4千米，BC=10千米，CE=6千米，∠BDC＝45°，∠ABD＝15°．已知：地下電纜的修建費(fèi)為2萬元／千米，水下電纜的修建費(fèi)為4萬元／千米.

（1）求出河寬AD（結(jié)果保留根號）；

（2）求出公路CD的長；

（3）哪種方案鋪設(shè)電纜的費(fèi)用低？請說明你的理由.

Answer 1

【答案】（1）6-2千米；（2）14千米；（3）方案一的鋪設(shè)電纜費(fèi)用低.

【解析】

（1）如圖所示，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，由于，，故利用三角形外角等于不相鄰兩個(gè)內(nèi)角和知，即在直角三角形中，知道斜邊求鄰邊用余弦得（千米），又（千米），所以可求出的值；

（2）過點(diǎn)作于后，由矩形知，由勾股定理知千米，有千米；

（3）由（2）得，方案一的鋪設(shè)費(fèi)用為：萬元，方案二的鋪設(shè)費(fèi)用為：萬元.故方案一的鋪設(shè)電纜費(fèi)用低.

（1）過點(diǎn)B作BF⊥AD，交DA的延長線于點(diǎn)F．

由題意得：∠BAF=∠ABD+∠ADB=15°+45°=60°，
在Rt△BFA中，
BF=ABsin60°=4×=6（千米），
AF=ABcos60°=4×=2（千米）．
∵CD⊥AD，∠BDC=45°，
∴∠BDF=45°，
在Rt△BFD中，∵∠BDF=45°，
∴DF=BF=6千米．
∴AD=DF-AF=6-2（千米）．
即河寬AD為（6-2）千米；
（2）過點(diǎn)B作BG⊥CD于G，易證四邊形BFDG是正方形，
∴BG=BF=6千米．
在Rt△BGC中，CG＝=8（千米），
∴CD=CG+GD=14千米．
即公路CD的長為14千米；
（3）方案一的鋪設(shè)電纜費(fèi)用低．
由（2）得DE=CD-CE=8千米．
∴方案一的鋪設(shè)費(fèi)用為：2（DE+AB）+4AD=40萬元，
方案二的鋪設(shè)費(fèi)用為：2（CE+BC+AB）=（32+8）萬元．
∵40＜32+8，
∴方案一的鋪設(shè)電纜費(fèi)用低．