Question

【題目】已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2﹣4ax+1與x軸的正半軸交于點A和點B，與y軸交于點C，且OB=3OC，點P是第一象限內的點，連接BC，△PBC是以BC為斜邊的等腰直角三角形．

（1）求這個拋物線的表達式；
（2）求點P的坐標；
（3）點Q在x軸上，若以Q、O、P為頂點的三角形與以點C、A、B為頂點的三角形相似，求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2﹣4ax+1，

∴點C的坐標為（0，1）．

∵OB=3OC，

∴點B的坐標為（3，0）．

∴9a﹣12a+1=0，

∴ ．

∴ ．

（2）

解：如圖，

過點P作PM⊥y軸，PN⊥x軸，垂足分別為點M、N．

∵∠MPC=90°﹣∠CPN，∠NPB=90°﹣∠CPN，

∴∠MPC=∠NPB．

在△PCM和△PBN中， ，

∴△PMC≌△PNB，

∴PM=PN．

設點P（a，a）．

∵PC2=PB2，

∴a2+（a﹣1）2=（a﹣3）2+a2．

解得a=2．

∴P（2，2）

（3）

解：∵該拋物線對稱軸為x=2，B（3，0），

∴A（1，0）．

∵P（2，2），A（1，0），B（3，0），C（0，1），

∴PO= ，AC= ，AB=2．

∵∠CAB=135°，∠POB=45°，

在Rt△BOC中，tan∠OBC= ，

∴∠OBC≠45°，∠OCB＜90°，

在Rt△OAC中，OC=OA，

∴∠OCA=45°，

∴∠ACB＜45°，

∴當△OPQ與△ABC相似時，點Q只有在點O左側時．

（i）當 時，∴ ，

∴OQ=4，

∴Q（﹣4，0）．

（ii）當 時，∴ ，

∴OQ=2，

∴Q（﹣2，0）．

當點Q在點A右側時，

綜上所述，點Q的坐標為（﹣4，0）或（﹣2，0）．

【解析】（1）利用待定系數(shù)法即可得出結論；（2）先判斷出△PMC≌△PNB，再用PC2=PB2 ， 建立方程求解即可；（3）先判斷出點Q只能在點O左側，再分兩種情況討論計算即可．
【考點精析】利用二次函數(shù)的概念和二次函數(shù)的圖象對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c為常數(shù))，則稱y為x的二次函數(shù)；二次函數(shù)圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點．