Question

【題目】我們知道，三角形三個內角平分線的交點叫做三角形的內心，已知點I為△ABC的內心．

（1）如圖1，連接AI并延長交BC于點D，若AB=AC=3，BC=2，求ID的長；

（2）如圖2，過點I作直線交AB于點M，交AC于點N．

①若MN⊥AI，求證：MI2=BMCN；

②如圖3，AI交BC于點D，若∠BAC=60°，AI=4，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）．

【解析】

（1）如圖1中，作IE⊥AB于E．設ID=x．由△BEI≌△BDI，可得ID=IE=x，BD=BE=1，AE=2，在Rt△AEI中，根據AE2+EI2=AI2，可得解方程即可；
（2）如圖2中，連接BI、CI．首先證明△AMI≌△ANI（ASA），再證明△BMI∽△INC，可得，推出NI2=BMCN，由此即可解決問題；
（3）過點N作NG∥AD交MA的延長線于G．由∠ANG=∠AGN=30°，推出AN=AG，由AI∥NG，推出，可得即可推出

（1）如圖1中，作IE⊥AB于E．設ID=x．

∵AB=AC=3，AI平分∠BAC，

∴AD⊥BC，BD=CD=1，

在Rt△ABD中，

∵∠EBI=∠DBI，∠BEI=∠BDI=90°，BI=BI，

∴△BEI≌△BDI，

∴ID=IE=x，BD=BE=1，AE=2，

在Rt△AEI中，∵AE2+EI2=AI2，

∴

∴

∴

（2）如圖2中，連接BI、CI．

∵I是內心，

∴∠MAI=∠NAI，

∵AI⊥MN，

∴∠AIM=∠AIN=90°，

∵AI=AI，

∴△AMI≌△ANI（ASA），

∴∠AMN=∠ANM，

∴∠BMI=∠CNI，

設∠BAI=∠CAI=α，∠ACI=∠BCI=β，

∴∠NIC=90°﹣α﹣β，

∵∠ABC=180°﹣2α﹣2β，

∴∠MBI=90°﹣α﹣β，

∴∠MBI=∠NIC，

∴△BMI∽△INC，

∴

∴NI2=BMCN，

∵NI=MI，

∴MI2=BMCN．

（3）過點N作NG∥AD交MA的延長線于G．

∴∠ANG=∠AGN=30°，

∴AN=AG，

∵AI∥NG，

∴

∴

∴