Question

【題目】如圖，在中，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，連接交直線于點(diǎn)，連接．

（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形；

（2）判斷的形狀，并證明；

（3）連接，用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

溫馨提示：在解決第（3）問的過程中，如果你遇到困難，可以參考下面幾種解法的主要思路．

解法1的主要思路：

延長至點(diǎn)，使，連接，可證，再證是等腰直角三角形．

解法2的主要思路：

過點(diǎn)作于點(diǎn)，可證是等腰直角三角形，再證．

解法3的主要思路：

過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，，用含或的式子表示，．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）是等腰直角三角形； 證明見解析．（3）；證明見解析．

【解析】

(1)根據(jù)題目意思補(bǔ)全圖形即可；

(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，再根據(jù)點(diǎn)與關(guān)于直線對稱得到，即可證明是等腰直角三角形；

(3)解法一：延長至點(diǎn)，使，連接，可證，再證是等腰直角三角形，進(jìn)而得到答案．

解法二：過點(diǎn)作于點(diǎn)，可證是等腰直角三角形，再證進(jìn)而得到答案．

解法三：過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，，用含或的式子表示，進(jìn)而得到答案．

（1）正確補(bǔ)全圖形：

（2）是等腰直角三角形；

證明：∵將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，

∴，

∵點(diǎn)與關(guān)于直線對稱，

∴，．

∴．

∴是等腰直角三角形．

（3）；

解法1證明：延長至點(diǎn)，使，連接，．

∵是等腰直角三角形，，

∴，．

∵，

∴．

∵，

∴，

∴，

∴，．

∴．

即．

∴是等腰直角三角形．

∴．

即．

解法2證明：過點(diǎn)作于點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，．

設(shè)，，

∵，

∴．

∴，．

在中，

∵，

∴．

∴．

即．

∵，

∴．

∴．

∵，

∴.

∴．

∴．

又∵．

∴．

解法3證明：過點(diǎn)作于點(diǎn)，過作于點(diǎn)，

∴．

即．

∵．

∴．

∵，

∴．

∴．

同解法2，可證．

設(shè)，，

∴，．

∴．