Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線y=﹣x2+bx+3與x軸交于點A（1，0）和點B，與y軸交于點C．

（1）求拋物線的解析式．
（2）直線y=kx+3k經過點B，與y軸的負半軸交于點D，點P為第二象限內拋物線上一點，連接PD，射線PD繞點P順時針旋轉與線段BD交于點E，且∠EPD=2∠PDC，∠EPD的平分線交線段BD于點H，∠BEP+∠BDP=90°
①若四邊形PHDC是平行四邊形，求點P的坐標；
②過點E作EF⊥PD，交PD于點G，交y軸于點F，已知PF=3 ，求直線PF的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（1，0）代入y=﹣x2+bx+3中，

﹣1+b+3=0，解得：b=﹣2，

∴拋物線的解析式為：y=﹣x2﹣2x+3；

（2）

解：如圖1，當y=0時，﹣x2﹣2x+3=0，

x2+2x﹣3=0，

（x+3）（x﹣1）=0，

x1=﹣3，x2=1，

∴B（﹣3，0），

∵四邊形PHDC是平行四邊形，

∴PH∥DC，

∴∠EHP=∠EDC，∠HPD=∠PDC，

設∠PDC=x，∠BDP=y，則∠EPH=∠HPD=x，∠EHP=∠EDC=x+y，

∴∠BEP=∠BHP+∠EPH=x+y+x=2x+y，

∵∠BEP+∠BDP=90°，

∴2x+y+y=90°，

x+y=45°，

即∠BHP=45°，

∴∠BDC=45°，

∴△BOD是等腰直角三角形，

∴OB=OD=3=﹣3k，

k=﹣1，

∴直線BD的解析式為：y=﹣x﹣3，

∵PH⊥x軸，

設P（x，﹣x2﹣2x+3），H（x，﹣x﹣3），

∴PH=CD=6，

∴﹣x2﹣2x+3+x+3=6，

解得：x1=0（舍），x2=﹣1，

∴P（﹣1，4）；

②如圖2，過D作DQ⊥y軸交PE的延長線于Q，直線PH交DQ于M，PN⊥y軸于N，

∵∠PDC= ∠EPD=∠DPH，

∴PM∥DN，

∵DQ⊥DN，

而PM平分∠QPD，

∴MQ=MD，

易得四邊形PNDM為矩形，

∴MD=PN，

∴DQ=2PN，

∵EF⊥PD，

∴∠BDP+∠DEG=90°，

而∠BDP+∠BEP=90°，

∴∠DEG=∠BEP=∠QED，

∵∠BDF=45°，

∴∠QDE=45°，

在△DEQ和△DEF中，

，

∴△DEQ≌△DEF（ASA），

∴DQ=DF，

∴DF=2MD=2PN，

設P（x，﹣x2﹣2x+3），則PN=DM=﹣x，DF=﹣2x，F(xiàn)N=﹣x2﹣2x+3+3+2x=﹣x2+6，

在Rt△PFN中，由勾股定理得：PF2=PN2+FN2，

∴ =（﹣x）2+（﹣x2+6）2，

解得：x1= ，x2=±3，

∵點P為第二象限內拋物線上一點，

∴x=﹣ ，

∴DF=2 ，

∴P（﹣ ，2 ﹣3），F(xiàn)（0，2 ﹣3），

設PF解析式為：y=kx+b，

把P（﹣ ，2 ﹣3），F(xiàn)（0，2 ﹣3）代入得：

，

∴ ，

∴直線PF的解析式為：y=﹣2 x+2 ﹣3．

【解析】（1）把點A的坐標代入拋物線的解析式中可得結論；（2）①如圖1，推出∠BHP=45°，求出直線BD解析式：y=﹣x﹣3，求出P點坐標等于（﹣1，4）；②如圖2，作輔助線，構建矩形和等腰三角形，判斷四邊形PNDM為矩形得到MD=PN，則DQ=2PN，然后證明△DEQ≌△DEF得到DQ=DF，所以DF=2MD=2PN；再在Rt△PFN中利用勾股定理列方程得出P和F的坐標，根據待定系數法求直線PF的解析式．
【考點精析】認真審題，首先需要了解二次函數的性質(增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小)，還要掌握等腰三角形的性質(等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）)的相關知識才是答題的關鍵．