【題目】已知拋物線y=x2+bx+cbc是常數(shù))與x軸有兩個交點,其中有一點的坐標為A1,0),點Pm,t)(m≠0)為拋物線上的一個動點.

1)設y′=m+t,寫出y′關于m的函數(shù)解析式,并求出該函數(shù)圖象的對稱軸(用含c的代數(shù)式表示);

2)在(1)的條件下,當m≤3時,與其對應的函數(shù)y′的最小值為﹣,求拋物線y=x2+bx+c的解析式;

3)在(2)的條件下,P點關于原點的對稱點為P′,且P′落在第一象限內(nèi),當P′A2取得最小值時,求mt的值.

【答案】(1)y′=m2cm+c m=c(2)y=x2+2x33t=m=

【解析】【試題分析】(1)根據(jù)點P(m,t)(m≠0)為拋物線上的一個動點得:

t=m2+bm+c,y′=m+t=m+m2+bm+c=m2+(b+1)m+c,

A(1,0)代入y=x2+bx+c,得1+b+c=0,b+1=﹣c,

y′=m2﹣cm+c.根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸表達式為:該函數(shù)圖象的對稱軸為m=c;

(2)由(1)知,y′=m2﹣cm+c,對稱軸為m=c;

c≤3時,即:c≤6,此時,m=c時,拋物線y′=m2﹣cm+c取最小值,

即: c2﹣c×c+c=﹣,

解得:c=﹣3c=7(舍去),

c=﹣3時,b=﹣c﹣1=2.

y=x2+2x﹣3;

(3)當y=x2+2x﹣3時,

P關于原點的對稱點為P',有P'(﹣m,﹣t).

P'(﹣m,﹣t)在第一象限,

﹣m>0,﹣t>0.即m<0,t<0.

由拋物線y=x2+2x﹣3的頂點為(﹣1,﹣4)

﹣4≤t<0.

A點坐標為(1,0),

利用兩點間的距離公式得:P'A2=(﹣m﹣1)2+t2=(m+1)2+t2

t=m2+2m﹣3=(m+1)2﹣4,

變形:(m+1)2=t+4,

P'A2=t2+t+4=(t+2+

∴當t=﹣時,P'A2取得最小值.

t=﹣代入t=m2+2m﹣3,得﹣=m2+2m﹣3

解得m=m=(舍)

故:當t=﹣時,m=.

【試題解析】

1t=m2+bm+c

y′=m+t=m+m2+bm+c=m2+b+1m+c

A1,0)代入y=x2+bx+c,得1+b+c=0,b+1=﹣c,

y′=m2﹣cm+c

∴該函數(shù)圖象的對稱軸為m=c

2)由(1)知,y′=m2﹣cm+c,對稱軸為m=c;

c3時,即:c6,此時,m=3時,拋物線y′=m2﹣cm+c取最小值,

∵點Pm,t),

∴點P的橫坐標是3,

即:點P是定點,不是動點,不符合題意,

c≤3時,即:c≤6,此時,m=c時,拋物線y′=m2﹣cm+c取最小值,

即: c2﹣c×c+c=﹣,

c=﹣3c=7(舍去),

c=﹣3時,b=﹣c﹣1=2

y=x2+2x﹣3

3)當y=x2+2x﹣3時,

P關于原點的對稱點為P',有P'﹣m,﹣t).

P'﹣m,﹣t)在第一象限,

﹣m0﹣t0.即m0,t0

由拋物線y=x2+2x﹣3的頂點為(﹣1,﹣4

﹣4≤t0

A點坐標為(1,0),

P'A2=﹣m﹣12+t2=m+12+t2,

t=m2+2m﹣3=m+12﹣4

m+12=t+4,

P'A2=t2+t+4=t+2+

∴當t=﹣時,P'A2取得最小值.

t=﹣代入t=m2+2m﹣3,得﹣=m2+2m﹣3

解得m=m=(舍)

∴當t=﹣時,m=

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2)如圖2,當AB=BC時,猜想四邊形ABCD是什么四邊形,并證明你的結論.

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