Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=-x²+4x+5的圖象交x軸于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右邊），交y軸于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為P．點(diǎn)M是射線OA上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)O重合），點(diǎn)N是x軸負(fù)半軸上的一點(diǎn)，NH⊥CM，交CM（或CM的延長線）于點(diǎn)H，交y軸于點(diǎn)D，且ND=CM．
（1）求證：OD=OM；
（2）設(shè)OM=t，當(dāng)t為何值時以C、M、P為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？
（3）問：當(dāng)點(diǎn)M在射線OA上運(yùn)動時，是否存在實(shí)數(shù)t，使直線NH與以AB為直徑的圓相切？若存在，請求出相應(yīng)的t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可證明∠OND=∠OCM，則△DON≌△MOC，則OD=OM；
（2）根據(jù)拋物線的解析式求得點(diǎn)C、P的坐標(biāo)，從而得出直線PC的解析式，根據(jù)兩直線垂直，比例系數(shù)k互為負(fù)倒數(shù)，從而得出t的值；
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)t，以AB為直徑的圓的半徑為3，假設(shè)圓心為E，與直線NH的切點(diǎn)為F，可得△EFN∽△COM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得t．

解答：解：（1）∵NH⊥CM，∴∠OND+∠OMC=90°，
∵∠OCM+∠OMC=90°，∴∠OND=∠OCM，
∵ND=CM，∴△DON≌△MOC，
∴OD=OM；

（2）二次函數(shù)y=-x²+4x+5的頂點(diǎn)P（2，9），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，5），
∴直線PC的解析式為y=2x+5，
∵PC⊥CM，∴直線MC的解析式為y=-

1

2

x+5，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（10，0），
∴t=10；
∴當(dāng)t為10時，以C、M、P為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形；
設(shè)M（b，0）
CM²=25+b²
PM²=81+（b-2）²
81+（b-2）²+20=25+b²
b=20
M（20，0）
當(dāng)t=20時以C、M、P為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形．

（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)t，使直線NH與以AB為直徑的圓相切，設(shè)圓心為E，與直線NH的切點(diǎn)為F，
由（1）可得△EFN∽△COM，
∴

EF

NE

=

OM

CM

，
∴

3

7

=

t

t2+25

，
解得t=

3

4

10

，
∴存在實(shí)數(shù)t=

3

4

10

，使直線NH與以AB為直徑的圓相切．

點(diǎn)評：本題是一道二次函數(shù)的綜合題，考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的關(guān)系式，一次函數(shù)的關(guān)系式，是中考壓軸題，難度較大．