如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為C

（1）求拋物線的函數(shù)解析式．
（2）設(shè)點(diǎn)D在拋物線上，點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上，且以AO為邊的四邊形AODE是平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（3）P是拋物線上第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點(diǎn)P，使得以P，M，A為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），
將點(diǎn)A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0），代入可得：
，解得：。
∴函數(shù)解析式為：y=x2+2x。
（2）當(dāng)AO為平行四邊形的邊時(shí)，DE∥AO，DE=AO，由A（﹣2，0）知：DE=AO=2，
若D在對(duì)稱軸直線x=﹣1左側(cè)，則D橫坐標(biāo)為﹣3，代入拋物線解析式得D1（﹣3，3）；
若D在對(duì)稱軸直線x=﹣1右側(cè)，則D橫坐標(biāo)為1，代入拋物線解析式得D2（1，3）。
綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（﹣3，3）或（1，3）。
（3）存在。
如圖：∵B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1），

根據(jù)勾股定理得：BO2=18，CO2=2，BC2=20
∴BO2+CO2=BC2�！唷鰾OC是直角三角形。
假設(shè)存在點(diǎn)P，使以P，M，A為頂點(diǎn)的 三角形與△BOC相似，設(shè)P（x，y），由題意知x＞0，y＞0，且y=x2+2x，
①若△AMP∽△BOC，則，即。
∴x+2=3（x2+2x），解得：x1=，x2=﹣2（舍去）。
當(dāng)x=時(shí)，y=，即P（，）。
②若△PMA∽△BOC，則，即。
∴x2+2x=3（x+2），解得：x1=3，x2=﹣2（舍去）。
當(dāng)x=3時(shí)，y=15，即P（3，15）。
∴符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，分別是P（，）或（3，15）。

試題分析：（1）由于拋物線經(jīng)過(guò)A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原點(diǎn)O，待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式。
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，對(duì)邊平行且相等，可以求出點(diǎn)D的坐標(biāo)。
（3）分兩種情況討論，①△AMP∽△BOC，②PMA∽△BOC，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等可以求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖1，平面之間坐標(biāo)系中，等腰直角三角形的直角邊BC在x軸正半軸上滑動(dòng)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（t，0），直角邊AC=4，經(jīng)過(guò)O，C兩點(diǎn)做拋物線（a為常數(shù)，a＞0），該拋物線與斜邊AB交于點(diǎn)E，直線OA：y2=kx（k為常數(shù)，k＞0）

（1）填空：用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)A的坐標(biāo)及k的值：A　   　，k=　   　；
（2）隨著三角板的滑動(dòng)，當(dāng)a=時(shí)：
①請(qǐng)你驗(yàn)證：拋物線的頂點(diǎn)在函數(shù)的圖象上；
②當(dāng)三角板滑至點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，求t的值；
（3）直線OA與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)D，當(dāng)t≤x≤t+4，|y2﹣y1|的值隨x的增大而減小，當(dāng)x≥t+4時(shí)，|y2﹣y1|的值隨x的增大而增大，求a與t的關(guān)系式及t的取值范圍．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，在直角體系中，直線AB交x軸于點(diǎn)A（5，0），交y軸于點(diǎn)B，AO是⊙M的直徑，其半圓交AB于點(diǎn)C，且AC=3。取BO的中點(diǎn)D，連接CD、MD和OC。

（1）求證：CD是⊙M的切線；
（2）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D、M、A，其對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)P，連接PD、PM，求△PDM的周長(zhǎng)最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)△PDM的周長(zhǎng)最小時(shí)，拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點(diǎn)A（﹣3，0）、B（﹣1，0），與y軸相交于點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)P是該圖象上的動(dòng)點(diǎn)；一次函數(shù)y=kx﹣4k（k≠0）的圖象過(guò)點(diǎn)P交x軸于點(diǎn)Q．

（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣4，m）時(shí)，求證：∠OPC=∠AQC；
（3）點(diǎn)M，N分別在線段AQ、CQ上，點(diǎn)M以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)N以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)C向點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M，N中有一點(diǎn)到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．連接AN，當(dāng)△AMN的面積最大時(shí)，
①求t的值；
②直線PQ能否垂直平分線段MN？若能，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明你的理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

（2013年浙江義烏10分）小明合作學(xué)習(xí)小組在探究旋轉(zhuǎn)、平移變換．如圖△ABC，△DEF均為等腰直角三角形，各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，1），B（2，2），C（2，1），D（，0），E（， 0），F(xiàn)（，）．
（1）他們將△ABC繞C點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)450得到△A1B1C．請(qǐng)你寫出點(diǎn)A1，B1的坐標(biāo)，并判斷A1C和DF的位置關(guān)系；
（2）他們將△ABC繞原點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)450，發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)后的三角形恰好有兩個(gè)頂點(diǎn)落在拋物線上．請(qǐng)你求出符合條件的拋物線解析式；
（3）他們繼續(xù)探究，發(fā)現(xiàn)將△ABC繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)45，若旋轉(zhuǎn)后的三角形恰好有兩個(gè)頂點(diǎn)落在拋物線上，則可求出旋轉(zhuǎn)后三角形的直角頂點(diǎn)P的坐標(biāo)．請(qǐng)你直接寫出點(diǎn)P的所有坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

（2013年四川南充8分）如圖，二次函數(shù)y=x2+bx－3b+3的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），交y軸于點(diǎn)C，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（b－2，2b2－5b－1）.

（1）求這條拋物線的解析式；
（2）⊙M過(guò)A、B、C三點(diǎn)，交y軸于另一點(diǎn)D，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）連接AM、DM，將∠AMD繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，兩邊MA、MD與x軸、y軸分別交于點(diǎn)E、F，若△DMF為等腰三角形，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知拋物線與x軸交于A．B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為D點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0）．

（1）求D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）如圖1，連接AC，BD并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，求∠E的度數(shù)；
（3）如圖2，已知點(diǎn)P（﹣4，0），點(diǎn)Q在x軸下方的拋物線上，直線PQ交線段AC于點(diǎn)M，當(dāng)∠PMA=∠E時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度沿B→C→A→B的方向運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2個(gè)單位沿C→A→B方向的運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B后立即原速返回，若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，相遇后同時(shí)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)t=　   　時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇；
（2）在點(diǎn)P從點(diǎn)B到點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)ι為何值時(shí)，△PCQ為等腰三角形？
（3）在點(diǎn)Q從點(diǎn)B返回點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)△PCQ的面積為s平方單位．
①求s與ι之間的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)s最大時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作直線交AB于點(diǎn)D，將△ABC中沿直線PD折疊，使點(diǎn)A落在直線PC上，求折疊后的
△APD與△PCQ重疊部分的面積．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

拋物線y=﹣x2平移后的位置如圖所示，點(diǎn)A，B坐標(biāo)分別為（﹣1，0）、（3，0），設(shè)平移后的拋物線與y軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為D．

（1）求平移后的拋物線的解析式和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）∠ACB和∠ABD是否相等？請(qǐng)證明你的結(jié)論；
（3）點(diǎn)P在平移后的拋物線的對(duì)稱軸上，且△CDP與△ABC相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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