Question

【題目】十八世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉證明了簡單多面體中項點數(shù)(V)、面數(shù)(F)、棱數(shù)(E)之間存在的一個有趣的關(guān)系式，被稱為歐拉公式。請你觀察下列兒種簡單多面體模型，解答下列問題:

(1)根據(jù)上面多面體模型，完成表格中的空格:

多面體	項點數(shù)(V)	面數(shù)(F)	棱數(shù)(F)
四面體
長方體
正八面體
正十二面體

你發(fā)現(xiàn)項點數(shù)(V)、面數(shù)(F)、棱數(shù)(F)之間存在的關(guān)系式是__________________________.

（2）一個多面體的面數(shù)比頂點數(shù)小8，且有30條棱，則這多面體的頂點數(shù)是 20；
（3）某個玻璃飾品的外形是簡單多面體，它的外表是由三角形和八邊形兩種多邊形拼接而成，且有48個頂點，每個頂點處都有3條棱，設(shè)該多面體表面三角形的個數(shù)為x個，八邊形的個數(shù)為y個，求x+y的值．

Answer 1

【答案】(1) 見解析，V+F-E=2；(2) 20；(3)26

【解析】

（1）觀察表格可以看出：頂點數(shù)+面數(shù)-棱數(shù)=2，關(guān)系式為：V+F-E=2；
（2）代入（1）中公式進行計算；
（3）根據(jù)歐拉公式可得頂點數(shù)+面數(shù)-棱數(shù)=2，然后表示出棱數(shù)，進而可得面數(shù)．

解：（1）根據(jù)題意得如下圖

多面體	頂點數(shù)(V)	面數(shù)(F)	棱數(shù)(E)
四面體	4	4	6
長方體	8	6	12
正八面體	6	8	12
正十二面體	20	12	30

∵4+4-6=2，8+6-12=2，6+8-12=2，
∴頂點數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）之間存在的關(guān)系式是V+F-E=2；
（2）由（1）可知：V+F-E=2，
∵一個多面體的面數(shù)比頂點數(shù)小8，且有30條棱，
∴V+V-8-30=2，即V=20；
（3）∵有48個頂點，每個頂點處都有3條棱，兩點確定一條直線；
∴共有48×3÷2=72條棱，
設(shè)總面數(shù)為F，
48+F-72=2，
解得F=26，
∴x+y=26．