Question

將兩塊全等的含30°角的三角尺如圖1擺放在一起，它們的較短直角邊長為3
（1）將△ECD沿直線l向左平移到圖2的位置，使E點(diǎn)落在AB上，點(diǎn)C平移后的對應(yīng)點(diǎn)為C₁，則CC₁=______；將△ECD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖3的位置，使點(diǎn)E恰好落在AB上，則△ECD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)的度數(shù)=______度；（本小題直接寫出結(jié)果即可）
（2）將△ECD沿直線AC翻折到圖4的位置，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為D₁，ED₁與AB相交于點(diǎn)F，求證：AF=FD₁．

Answer 1

解：（1）∵EC=3，∠A=30°，
∴AC==3，
∴AE=3-3，
∴CC₁=EE₁=AE×tan30°=3-；
△ECD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)的度數(shù)即∠ECE₂的度數(shù)；
∵∠ABC=60°，BC=CE₂=3，AB=6，
∴△E₂BC是等邊三角形，
∴BC=E₂C=E₂B=3，
∴AE₂=E₂C=3，
∴∠E₂AC=∠E₂CA，
∴∠ECE₂=∠BAC=30°．
故答案為：3-，30；

（2）證明：在△AEF和△D₁BF中，
∵AE=AC-EC，D₁B=D₁C-BC，
又AC=D₁ C，EC=BC，∴AE=D₁ B．
∠D₁BF=∠AEF=180°-60°=120°，
在△AEF和△D₁BF中
∵，
∴△AEF≌△D₁BF（AAS）．
∴AF=F D₁．
分析：（1）根據(jù)題意：E₁是AB的中點(diǎn)，即BC₁=BC-CC₁，則CC₁=BC-BC₁，進(jìn)而求出即可，△ECD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)的度數(shù)即∠ECE₂的度數(shù)；易得：∠ECE₂=∠BAC=30°；
（2）根據(jù)條件，由AAS證明△AEF≌△D₁BF進(jìn)而得出AF=FD₁．
點(diǎn)評：本題考查平移、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；平移的基本性質(zhì)是：①平移不改變圖形的形狀和大小；②經(jīng)過平移，對應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等，對應(yīng)線段平行且相等，對應(yīng)角相等．旋轉(zhuǎn)變化前后，對應(yīng)線段、對應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變，兩組對應(yīng)點(diǎn)連線的交點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)中心．