Question

【題目】探索：小明和小亮在研究一個數(shù)學(xué)問題：已知AB∥CD，AB和CD都不經(jīng)過點(diǎn)P，探索∠P與∠A，∠C的數(shù)量關(guān)系．

發(fā)現(xiàn)：在圖1中，小明和小亮都發(fā)現(xiàn)：∠APC=∠A+∠C；

小明是這樣證明的：過點(diǎn)P作PQ∥AB

∴∠APQ=∠A（ ）

∵PQ∥AB，AB∥CD．

∴PQ∥CD（ ）

∴∠CPQ=∠C

∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C

即∠APC=∠A+∠C

小亮是這樣證明的：過點(diǎn)作PQ∥AB∥CD．

∴∠APQ=∠A，∠CPQ=∠C

∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C

即∠APC=∠A+∠C

請在上面證明過程的過程的橫線上，填寫依據(jù)；兩人的證明過程中，完全正確的是 ．

應(yīng)用：

在圖2中，若∠A=120°，∠C=140°，則∠P的度數(shù)為 ；

在圖3中，若∠A=30°，∠C=70°，則∠P的度數(shù)為 ；

拓展：

在圖4中，探索∠P與∠A，∠C的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【答案】兩直線平行，內(nèi)錯角相等；平行于同一直線的兩直線平行；小明的證法；100°；40°；

∠APC=∠A﹣∠C

【解析】

試題分析：過點(diǎn)P作AB的平行線，用相似的證明方法運(yùn)用平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明即可

試題解析：如圖1，過點(diǎn)P作PQ∥AB， ∴∠APQ=∠A（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

∵PQ∥AB，AB∥CD. ∴PQ∥CD（平行于同一直線的兩直線平行） ∴∠CPQ=∠C

∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C 即∠APC=∠A+∠C，

故兩人的證明過程中，完全正確的是小明的證法；

如圖2，過點(diǎn)P作PE∥AB， ∴∠APE+∠A=180°，∠A=120°，∴∠APE=60°，

∵PE∥AB，AB∥CD. ∴PE∥CD（平行于同一直線的兩直線平行）

∴∠CPE+∠C=180°，∠C=140°，∴∠CPE=40°， ∴∠APC=∠APE+∠CPE=100°；

如圖3，過點(diǎn)P作PF∥AB， ∴∠APF=∠A， ∵PF∥AB，AB∥CD. ∴PF∥CD，

∴∠CPF=∠C ∴∠CPF﹣∠APF=∠C﹣∠A 即∠APC=∠C﹣∠A=40°；

如圖4，過點(diǎn)P作PG∥AB， ∴∠APG+∠A=180°，∴∠APG=180°﹣∠A

∵PG∥AB，AB∥CD， ∴PG∥CD，（平行于同一直線的兩直線平行）

∴∠CPG+∠C=180°，∴∠CPG=180°﹣∠C ∴∠APC=∠CPG﹣∠APG=∠A﹣∠C．