Question

【題目】某商場(chǎng)銷售一種成本為每件30元的商品，銷售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間的關(guān)系可近似看作一次函數(shù)y＝－10x＋600，商場(chǎng)銷售該商品每月獲得利潤(rùn)為w（元）．
（1）求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）如果商場(chǎng)銷售該商品每月想要獲得2000元的利潤(rùn)，那么每月成本至少多少元？
（3）為了保護(hù)環(huán)境，政府部門(mén)要求用更加環(huán)保的新產(chǎn)品替代該商品，商場(chǎng)銷售新產(chǎn)品，每月的銷量與銷售價(jià)格之間的關(guān)系與原產(chǎn)品的銷售情況相同，新產(chǎn)品的成本每件32元，若新產(chǎn)品每月的銷售量不低于200件時(shí)，政府部門(mén)給予每件4元的補(bǔ)貼，試求定價(jià)多少元時(shí)，每月銷售新產(chǎn)品的利潤(rùn)最大？求出最大的利潤(rùn)。

Answer 1

【答案】
（1）解：w=（x﹣30）（﹣10x+600）=﹣10x2+900x﹣18000
（2）解：由題意得，﹣10x2+900x﹣18000=2000，解得：x1=40，x2=50，當(dāng)x=40時(shí)，成本為30×（﹣10×40+600）=6000（元），當(dāng)x=50時(shí)，成本為30×（﹣10×50+600）=3000（元），∴每月想要獲得2000元的利潤(rùn)，每月成本至少3000元
（3）解：當(dāng)y＜200時(shí)，即：﹣10x+600＜200，解得：x＞40，w=（x﹣32）（﹣10x+600）=﹣10（x﹣46）2+1960，∵a=﹣10＜0，x＞40，∴當(dāng)x=46時(shí)，w最大值=1960（元）；
當(dāng)y≥200時(shí)，即：﹣10x+600≥200，解得：x≤40，w=（x﹣32+4）（﹣10x+600）=﹣10（x﹣44）2+2560，∵a=﹣10＜0，∴拋物線開(kāi)口向下，當(dāng)32＜x≤40時(shí)，w隨x的增大而增大，∴當(dāng)x=40時(shí)，w最大值=2400（元），∵1960＜2400，∴當(dāng)x=40時(shí)，w最大．
答：定價(jià)每件40元時(shí)，每月銷售新產(chǎn)品的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為2400元．
【解析】（1）利用利潤(rùn)法則：?jiǎn)渭�利�?rùn)銷量=利潤(rùn)，可列出函數(shù)表達(dá)式；（2）根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特殊值，列出方程，解方程求出結(jié)果；（3）根據(jù)銷量進(jìn)行分類討論，分別列出分段函數(shù)，在自變量的取值范圍內(nèi)，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，求出最值.