Question

【題目】如圖，直線y=x+2與拋物線y=ax2+bx+6相交于A（，）和B（4，m），點(diǎn)P是AB上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為n，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)C，與x軸交于M點(diǎn)．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)P是線段AB上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)P，使線段PC的長(zhǎng)有最大值？若存在，求出這最大值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）點(diǎn)P在直線AB上自由移動(dòng)，當(dāng)三個(gè)點(diǎn)C，P，M中恰有一點(diǎn)是其它兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫出m的值．

Answer 1

【答案】(1) y=2x2﹣8x+6；(2)見(jiàn)解析;(3) n的值為或．

【解析】分析：（1）把B（4，m）代入y=x+2中求出m得到B（4，6），然后把A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax2+bx+6得到關(guān)于a、b的方程組，再解方程組即可得到拋物線解析式；
（2）設(shè)P的坐標(biāo)為（n，n+2）（＜n＜4），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（n，2n2-8n+6），用n表示PC得到PC=（n+2）-（2n2-8n+6），然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題；
（3）設(shè)P的坐標(biāo)為（n，n+2），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（n，2n2-8n+6），討論：若M點(diǎn)為PC的中點(diǎn)，則PM=CM，即n+2=-（2n2-8n+6）；若P點(diǎn)為CM的中點(diǎn)，則PM=PC，即2n2-8n+6=2（x+2）；若C點(diǎn)為PM的中點(diǎn)，則PC=CM，即n+2=2（2n2-8n+6），然后分別解方程可確定滿足條件的n的值．

詳解：

（1）∵B（4，m）在直線y=x+2上，

∴m=6，則B（4，6），

∵A（ ，）、B（4，6）在拋物線y=ax2+bx+6上，

∴ 解得 ，

∴所求拋物線的表達(dá)式為y=2x2﹣8x+6；

（2）設(shè)P的坐標(biāo)為（n，n+2）（＜n＜4），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（n，2n2﹣8n+6），

∴PC=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6）=﹣2n2+9n﹣4=﹣2（n﹣）2+，

∵a=﹣2＜0，

∴當(dāng)n=時(shí)，線段PC取得最大值；

（3）設(shè)P的坐標(biāo)為（n，n+2），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（n，2n2﹣8n+6），

若M點(diǎn)為PC的中點(diǎn)，則PM=CM，即n+2=﹣（2n2﹣8n+6），整理得2n2﹣7n+8=0，此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解；

若P點(diǎn)為CM的中點(diǎn)，則PM=PC，即2n2﹣8n+6=2（x+2），整理得n2﹣5n+5=0，解得n1= ，n2=；

若C點(diǎn)為PM的中點(diǎn)，則PC=CM，即n+2=2（2n2﹣8n+6），整理得4n2﹣17n+10=0，解得n1= ，n2=；

綜上所述，n的值為或．