Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，點D，E為⊙O上的兩個點，延長AD至C，使∠CBD=∠BED.

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）當點E為弧AD的中點且∠BED=30°時，⊙O半徑為2，求DF的長度.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】由圓周角定理和已知條件證出∠CBD+∠ABD=90°.得出∠ABC=90°，即可得出結(jié)論；

(2) 在RtΔBDF中，利用三角函數(shù)即可求出DF的長度.

解：（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，∴∠A+∠DBA=90°，

∵ 弧BD=弧BD，∴∠A=∠E，

∵∠CBD=∠E，∴∠CBD=∠A ，

∴∠CBD +∠DBA=90°，∴AB⊥BC，

∴BC是⊙O的切線.

（2）解：∵∠BED=30°，

∴∠A=∠E=∠CBD=30°，

∴∠DBA=60°，

∵點E為弧AD的中點，

∴∠EBD=∠EBA=30°，

∵⊙O半徑為2，

∴AB=4，BD=2，AD= .

在RtΔBDF中，∠DBF=90°，

，

∴DF.

“點睛”本題考查了切線的判定定理、圓周角定理、三角函數(shù)等知識，熟練掌握切線的判定，由三角函數(shù)求出直徑是解決問題（2）的關(guān)鍵.