Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，點O是AC中點，AC＝2AB，延長AB到G，使BG＝AB，連接GO并延長，分別交BC于點E，交AD于點F．

（1）求證：△ABC≌△AOG；

（2）若ABCD為矩形，則四邊形AECF是什么特殊四邊形？請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析.

【解析】（1）由O是AC的中點，AC＝2AB，BG＝AB，得到AO=AB，AC=AG．由∠BAC＝∠OAG ，即可得到結(jié)論；

（2）由O是AC的中點，得到AO=OC．由平行四邊形的性質(zhì)得到AF∥EC，由平行線的性質(zhì)得到∠DAO＝∠BCO，進(jìn)而得到△AOF≌△COE， AF＝CE，得到四邊形AECF是平行四邊形．由△ABC≌△AOG，得到∠AOG＝∠ABC＝90°，即可得到AECF是菱形．

（1）∵O是AC的中點，AC＝2AB，BG＝AB，∴AO=AB，AC=AG．

又∵∠BAC＝∠OAG ，∴△ABC≌△AOG；

（2）AECF是菱形．理由如下：

∵O是AC的中點，∴AO=OC．

∵平行四邊形ABCD，∴AF∥EC，∴∠DAO＝∠BCO．

又∵∠AOF=∠COE，∴△AOF≌△COE，∴AF＝CE，∴四邊形AECF是平行四邊形．

由（1）知△ABC≌△AOG，∴∠AOG＝∠ABC．

又∵ABCD是矩形，

∴∠ABC＝90°，∴∠AOG＝90°，∴AECF是菱形．