Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB、AC于點M和N，再分別以M、N為圓心，大于 MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連結(jié)AP并延長交BC于點D，則下列說法中正確的個數(shù)是（ ）
①AD是∠BAC的平分線；②∠ADC=60°；③點D在AB的中垂線上；④S△DAC：S△ABC=1：3．

A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】D
【解析】解：

①根據(jù)作圖的過程可知，AD是∠BAC的平分線．
故①正確；
②如圖，
∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°．
又∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠1=∠2= ∠CAB=30°，
∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°．
故②正確；
③∵∠1=∠B=30°，
∴AD=BD，
∴點D在AB的中垂線上．
故③正確；
④∵如圖，在直角△ACD中，∠2=30°，
∴CD= AD，
∴BC=CD+BD= AD+AD= AD，S△DAC= ACCD= ACAD．
∴S△ABC= ACBC= AC AD= ACAD，
∴S△DAC：S△ABC= ACAD： ACAD=1：3．
故④正確．
綜上所述，正確的結(jié)論是：①②③④，共有4個．
故選D．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用角平分線的性質(zhì)定理和線段垂直平分線的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上；垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等．