Question

29、如圖，正方形OEFG繞著正方形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，邊OE、OG分別交邊AD、AB于點(diǎn)M、N．
（1）求證：OM=ON；
（2）設(shè)正方形OEFG的對(duì)角線OF與邊AB相交于點(diǎn)P，連接PM．若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為12，且PM=5，試求AM的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠OAM=∠OBN，OA=OB，∠AOM=∠BON，從而證明△AOM≌△BON，問題得證；
（2）利用上題證得的全等三角形可以得到BN=AM，設(shè)AM=x，然后表示出AP，在直角三角形AMP中利用勾股定理列出方程求解即可．

解答：（1）∵O為正方形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，
∴∠OAM=∠OBN=45°，OA=OB，∠AOB=90°．（1分）
又∵∠EOG=90°，
∴∠EOG-∠AON=∠AOB-∠AON，即∠AOM=∠BON．（2分）
在△AOM和△BON中，
∵∠OAM=∠OBN，OA=OB，∠AOM=∠BON，
∴△AOM≌△BON．（ASA）（3分）
∴OM=ON．（4分）
（2）∵OF為正方形OEFG的對(duì)角線，
∴∠POM=∠PON=45°．
又∵OM=ON，OP=OP，
∴△POM≌△PON．（SAS）（5分）
∴PM=PN．
又∵PM=5，
∴PN=5．（6分）
∵△AOM≌△BON，
∴BN=AM．（7分）
設(shè)AM=x，則AP=AB-PN-BN=12-5-x=7-x．（8分）
在Rt△AMP中，
∵AM²+AP²=PM²，
∴x²+（7-x）²=25．（9分）
化簡(jiǎn)得x²-7x+12=0．
解這個(gè)方程得x₁=3，x₂=4．
∴AM的長(zhǎng)為3或4．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解決此類問題的關(guān)鍵是正確的利用旋轉(zhuǎn)不變量．