Question

【題目】如圖①，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)P是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于直線BP的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)Q，連接PQ、DQ、CQ、BQ，設(shè)AP＝x．

（1）BQ＋DQ的最小值是_______，此時(shí)x的值是_______；

（2）如圖②，若PQ的延長(zhǎng)線交CD邊于點(diǎn)E，并且∠CQD＝90°．

①求證：點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)； ②求x的值．

（3）若點(diǎn)P是射線AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出當(dāng)△CDQ為等腰三角形時(shí)x的值．

Answer 1

【答案】（1），;(2) ①理由詳見解析；②;(3) 2﹣或或2+．

【解析】

試題分析：(1)根據(jù)兩點(diǎn)之間,線段最短可知,點(diǎn)Q在線段BD上時(shí)BQ＋DQ的值最小,是BD的長(zhǎng)度,利用勾股定理即可求出;再根據(jù)△PDQ是等腰直角三角形求出x的值;

(2) ①由對(duì)稱可知AB=BQ=BC,因此∠BCQ=∠BQC.根據(jù)∠BQE=∠BCE=90°,可知∠EQC=∠ECQ,從而EQ=EC.再根據(jù)∠CQD=90°可得∠DQE+∠CQE=90°, ∠QCE+∠QDE=90°,而∠EQC=∠ECQ, 所以∠QDE=∠DQE，從而EQ=ED.易得點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)；②在Rt△PDE中，PE= PQ+QE=x+，PD=1﹣x，PQ=x，根據(jù)勾股定理即可求出x的值.

(3) △CDQ為等腰三角形分兩種情況:①CD為腰,以點(diǎn)C 為圓心,以CD的長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧交點(diǎn)即為使得△CDQ為等腰三角形的Q點(diǎn); ②CD為底邊時(shí),作CD的垂直平分線,與的交點(diǎn)即為△CDQ為等腰三角形的Q點(diǎn),則共有 3個(gè)Q點(diǎn),那么也共有3個(gè)P點(diǎn),作輔助線,利用直角三角形的性質(zhì)求之即得.

試題解析：（1），．

（2）①證明：在正方形ABCD中，

AB=BC，∠A=∠BCD=90°．

∵Q點(diǎn)為A點(diǎn)關(guān)于BP的對(duì)稱點(diǎn)，

∴AB=QB，∠A=∠PQB=90°，

∴QB=BC，∠BQE=∠BCE，

∴∠BQC=∠BCQ，

∴∠EQC=∠EQB﹣∠CQB=∠ECB﹣∠QCB=∠ECQ，

∴EQ=EC．

在Rt△QDC中，

∵∠QDE=90°﹣∠QCE，

∠DQE=90°﹣∠EQC，

∴∠QDE=∠DQE，

∴EQ=ED，

∴CE=EQ=ED，即E為CD的中點(diǎn)．

②∵AP=x，AD=1，

∴PD=1﹣x，PQ=x，CD=1．

在Rt△DQC中，

∵E為CD的中點(diǎn)，

∴DE=QE=CE=，

∴PE=PQ+QE=x+，

∴，

解得 x=．

（3）△CDQ為等腰三角形時(shí)x的值為2-，，2+．

如圖，以點(diǎn)B為圓心，以AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，以點(diǎn)C為圓心，以CD的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧分別交于Q1，Q3．此時(shí)△CDQ1，△CDQ3都為以CD為腰的等腰三角形．作CD的垂直平分線交弧AC于點(diǎn)Q2，此時(shí)

△CDQ2以CD為底的等腰三形．

以下對(duì)此Q1，Q2，Q3．分別討論各自的P點(diǎn)，并求AP的值．

討論Q:如圖作輔助線，連接BQ1、CQ1，作PQ1⊥BQ1交AD于P，過點(diǎn)Q1，作EF⊥AD于E，交BC于F．

∵△BCQ1為等邊三角形，正方形ABCD邊長(zhǎng)為1，

∴，．

在四邊形ABPQ1中，

∵∠ABQ1=30°，

∴∠APQ1=150°，

∴△PEQ1為含30°的直角三角形，

∴PE=．

∵AE=，

∴x=AP=AE-PE=2-．

②討論Q2，如圖作輔助線，連接BQ2，AQ2，過點(diǎn)Q2作PG⊥BQ2，交AD于P，連接BP，過點(diǎn)Q2作EF⊥CD于E，交AB于F．

∵EF垂直平分CD，

∴EF垂直平分AB，

∴AQ2=BQ2．

∵AB=BQ2，

∴△ABQ2為等邊三角形．

在四邊形ABQP中，

∵∠BAD=∠BQP=90°, ∠ABQ=60°,

∴∠APE=120°

∴∠EQ2G=∠DPG=180°-120°=60°，

∴，

∴EG=，

∴DG=DE+GE=-1，

∴PD=1-，

∴x=AP=1-PD=．

③對(duì)Q3，如圖作輔助線，連接BQ1，CQ1，BQ3，CQ3，過點(diǎn)Q3作BQ3⊥PQ3，交AD的延長(zhǎng)線于P，連接BP，過點(diǎn)Q1，作EF⊥AD于E，此時(shí)Q3在EF上，不妨記Q3與F重合．

∵△BCQ1為等邊三角形，△BCQ3為等邊三角形，BC=1，

∴，，

∴．

在四邊形ABQ3P中

∵∠ABF=∠ABC+∠CBQ3=150°，

∴∠EPF=30°，

∴EP=,EF=．

∵AE=，

∴x=AP=AE+PE=+2．

綜上所述，△CDQ為等腰三角形時(shí)x的值為2﹣，，2+．