Question

【題目】綜合與探究

問題背景

在綜合實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們根據(jù)如下問題情境，寫出兩個教學(xué)結(jié)論：

如圖，點(diǎn)C在線段BD上，點(diǎn)E在線段AC上．∠ACB＝∠ACD＝90°，AC＝BC；DC＝CE，M，N分別是線段BE，AD上的點(diǎn)．

“興趣小組”寫出的兩個教學(xué)結(jié)論是：①△BCE≌△ACD；②當(dāng)CM，CN分別是△BCE和△ACD的中線時，△MCN是等腰直角三角形．

解決問題

（1）請你結(jié)合圖（1）．證明“興趣小組”所寫的兩個結(jié)論的正確性．

類比探究

受到“興趣小組”的啟發(fā)，“實(shí)踐小組”的同學(xué)們寫出如下結(jié)論：如圖（2），當(dāng)∠BCM＝∠ACN時，△MCN是等腰直角三角形．

（2）“實(shí)踐小組”所寫的結(jié)論是否正確？請說明理由．

感悟發(fā)現(xiàn)

“奮進(jìn)小組”認(rèn)為：當(dāng)點(diǎn)M，N分別是BE，AD的三等分點(diǎn)時，△MCN仍然是等腰直角三角形請你思考：

（3）“奮進(jìn)小組”所提結(jié)論是否正確？答：　 　（填“正確”、“不正確”或“不一定正確”．）

（4）反思上面的探究過程，請你添加適當(dāng)?shù)臈l作，再寫出使得△MCN是等腰直角三角形的數(shù)學(xué)結(jié)論．（所寫結(jié)論必須正確，寫出1個即可，不要求證明）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）實(shí)踐小組”所寫的結(jié)論正確，理由見解析；（3）不一定準(zhǔn)確，理由見解析；（4）答案不唯一，見解析

【解析】

（1）由△BCE≌△ACD，推出BE＝AD，∠EBC＝∠DAC，因?yàn)锽M＝BE，AN＝AD，推出BM＝AN，再證明△BCM≌△ACN，即可解決問題；

（2）實(shí)踐小組”所寫的結(jié)論正確．只要證明△BCM≌△ACN（ASA），即可解決問題；

（3）“奮進(jìn)小組”認(rèn)為：當(dāng)點(diǎn)M，N分別是BE，AD的三等分點(diǎn)時，△MCN仍然是等腰直角三角形．這個結(jié)論不一定準(zhǔn)確，分兩種情形說明即可；

（4）答案不唯一．比如：當(dāng)CM，CN分別是△BCE，△ACD的高時，△MCN是等腰直角三角形；當(dāng)CM，CN分別是△BCE，△ACD的角平分線時，△MCN是等腰直角三角形.

（1）在△BCE和△ACD中，

，

∴△BCE≌△ACD（SAS），

∴BE＝AD，∠EBC＝∠DAC，

∵CM，CN分別是△BCE和△ACD的中線，

∴BM＝BE，AN＝AD，

∴BM＝AN，

在△BCM和△ACN，

，

∴△BCM≌△ACN（SAS），

∴CM＝CN，∠BCM＝∠ACN，

∵∠BCM+∠MCE＝90°，

∴∠ACN+∠MCE＝90°，

∴MC⊥CN．

∴△MCN是等腰直角三角形．

（2）實(shí)踐小組”所寫的結(jié)論正確．

理由：∵△BCE≌△ACD，

∴∠EBC＝∠DAC，

在△BCM和△CAN中，

，

△BCM≌△ACN（ASA），

∴CM＝CN，

∵∠BCM+∠MCE＝∠ACB＝90°，

∴∠ACN+∠MCE＝90°，

∴MC⊥CN．

∴△MCN是等腰直角三角形．

（3）“奮進(jìn)小組”認(rèn)為：當(dāng)點(diǎn)M，N分別是BE，AD的三等分點(diǎn)時，△MCN仍然是等腰直角三角形．這個結(jié)論不一定準(zhǔn)確．

理由：當(dāng)BM＝BE，AN＝AD時，△MCN仍然是等腰直角三角形．

當(dāng)BM＝BE，DN＝AD時，△MCN不是等腰直角三角形．

故答案為不一定準(zhǔn)確．

（4）答案不唯一．比如：當(dāng)CM，CN分別是△BCE，△ACD的高時，△MCN是等腰直角三角形；

當(dāng)CM，CN分別是△BCE，△ACD的角平分線時，△MCN是等腰直角三角形；

理由：只要證明△BCM≌△ACN（AAS），即可推出，∠BCM＝∠ACN，推出∠MCN＝90°，

∵CM＝CN，

∴△MCN是等腰直角三角形．