Question

如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑作⊙O，交AB于D，E為BC中點(diǎn)，連ED．
（1）求證：ED是⊙O的切線；
（2）若⊙O半徑為3，ED=4，求AB長(zhǎng)？

Answer 1

分析：（1）方法一：連接OD，OE，CD，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，求證∠EDC=∠ECD，再根據(jù)AC為直徑作⊙O，求證∠ODC+∠EDC=∠OCD+∠ECD=90°即可．
方法二：連接OE，OD，根據(jù)E是BC的中點(diǎn)，∠BDC=90°，利用SSS求證△ODE≌△OCE，然后得∠ODE=∠OCE=90°即可．
（2）根據(jù)⊙O半徑為3，ED=4，利用勾股定理求得OE的長(zhǎng)，再利用三角形中位線定理即可求得AB的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：
方法一：連接OD，OE，CD，
∵∠ADC=90°，
∴∠CDB=90°，
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴DE=CE，
∴∠EDC=∠ECD，
∵OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠ODC+∠EDC=∠OCD+∠ECD=90°，
即OD⊥ED，
∴ED與⊙O相切．
方法二：連接OE，OD，
∵E是BC的中點(diǎn)，∠BDC=90°，
∴DE=CE，
又∵OD=OC，OE=OE，
∴△ODE≌△OCE，
∴∠ODE=∠OCE=90°，
即OD⊥ED，
∵D在⊙O上，
∴ED與⊙O相切．

（2）解：∵⊙O半徑為3，即OC=3，ED=4，
∴CE=ED=4，
∴OE=

CE2+OC2

=5，
∵E為BC中點(diǎn)，OC=OA，
∴OE為△ACB的中位線，
∴OE=

1

2

AB，
∴AB=10．
答：AB長(zhǎng)為10．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，以及切線的判定，切線的判定常用的方法是利用切線的判定定理轉(zhuǎn)化為證明垂直的問(wèn)題．